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6. Examinons maintenant le problème a) du numero 2. Etant donnée 

 la fonetion P(.r , y) , tout revient à déterminer les fonctions n et m telles que 



(8) F = l + ml j- In -|r mìa . 



Tette équation est de nature assez compliquée, tandis que. en partaDt 

 de la forine (2) du noyau, la revolution du problème a) était immediate, 

 en termes tìnis. On voit comment on perd ici, et au delà, tous les avan- 

 tages de simplicité que (5) pouvait présenter sur (2). 



Dans le cas où F(s . y) est régni i ère, la revolution (en m et n) de (8) 

 est natnrellement possible: gràce à la formule (2) nous ponvons écrire 

 immédiatement la valenr de la fonetion n{x , y) nulle pour x = 0. En nom- 

 mant n (x , y) cette fonetion, il vient 



oo oc /""*E 



n 9 (x , y) = 4>(x ; , y) = Y I d£ p ■ • G-?, Qi 2 • • • % (0 , y — *) , 



'0 



en tenant compte de (2') et de (2"). La formule (7) donne alors la valeur 

 la plus generale de n et celle de m en ré.sùUe. Toules les fonctions per- 

 mutables avec F(x , y) auront alors V expression (4). 



Les transformations fì telles que F-— i2(l) soit régulière, cest-à-dire 

 celles qui peuvent prendre la forme (2), soni caraetérisées par ce fait que 



j-n{x,x + y) 



existe et est continue (ce qui entraine la méme condition avec m) ( 1 ). Ce 

 ne sont donc pas les plus générales Sì qui conservent la composition : en 

 d'autres termes la formule (5) est un peu plus generale que (2). C'e3t là 

 son véritable intérét; nous reviendrons sur ce point dans une note prochaine. 



( l ) C'est, en tenant compte de (7), le résultat mème du Théorèrne du n. 13 de 

 mon Mémoire cité (Bull. Soc, Math. 1919). Ce théoième se trouve généralisé dans ce 

 qui précède (n. 5), mais l'ononcé plus restreint gurde son intérét, parce qu'il C;iracté- 

 rise le cas régulier. 



G. C. 



