torno di un punto qualunque dell'asse delle y, che possiamo senz'altro sup- 

 porre sia il punto y = s = 0, ammetterà uno sviluppo della forma solita 



u(y , s) = u, 



s 



Ora si può subito dimostrare che tutti i coefficienti di questo sviluppo si 

 possono determinare mediante le (7) (8) e la equazione (5) a cui la u deve 

 soddisfare. Da queste equazioni abbiamo infatti con semplici derivazioni 



ove gli apici indicano derivazioni, ed H è la costante q g sen a : /jl . In 

 modo analogo si possono calcolare i valori di tutte le altre derivate di 



ordine superiore, per z = 0. Si trova 



L'unicità della funzione u che soddisfa alle condizioni stabilite è così di- 

 mostrata, poiché dallo sviluppo della funzione in un punto del campo, noi 

 possiamo coi metodi di prolungamento delle funzioni armoniche dedurne lo 

 sviluppo in un altro qualunque. La u differisce infatti da una funzione armo- 

 nica unicamente per il termine — k E z 2 , che è nullo, insieme alla sua 

 derivata normale, sull'asse delle y . 



La funzione <p{y) per le ipotesi fatte avrà sempre valori nulli all'estremo 

 dell'intervallo, cioè per y -~ L„ , L) . In questi punti è nulla anche la u; 

 perciò la curva rappresentata nel piano yz dall'equazione 



darà senz'altro l'equazione del piotilo del canale a cagione della seconda 

 delle equazioni (6), tutte le volte che la funzione u, in base ai dati super- 

 ficiali, si potrà effettivamente costruire. 



Ora questa funzione si può sempre costruire colla massima facilità me- 

 diante la funzione <p(y) e la funzione *I s (y), quando questa non sia nulla, 

 o non si voglia supporla tale per tener conto di qualche altro elemento. 



u(y ,z) = 



