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Si comprende perciò come aumentando il numero dei punti, nei quali si 

 determina la velocità superficiale, si potrà raggiungere tutta l'approssima- 

 zione che si desidera nella rappresentazione della curva che rappresenta tale 

 velocità, e quindi anche di quella che rappresenta il profilo della sezione. 



In questo caso la funzione u sarà composta del termine {He 2 , e di 

 una funzione lineare di un certo numero di armoniche piane Ui , U 2 , . . . , 

 di ordine pari rispetto a s, la cui forma generale, come è notissimo, è 



U» = |ù/ + iz) w -L- -(//-*' ?>". 



La soluzione così trovata del problema della determinazione del profilo 

 della sezione è suscettibile di una generalizzazione, che può avere interesse 

 nei casi in cui la linea libera superficiale si scosta da una linea retta. 

 Effettivamente, se si osservano le sezioni ottenute dai rilievi, questa linea 

 è generalmente convessa verso l'alto nella regione mediana. Volendo tener 

 conto di questa particolarità, immaginiamo di sostituire alla retta dell'asse 

 delle y, una circonferenza col centro in un punto qualunque, opportunamente 

 scelto del piano yz, e prendiamo un sistema di coordinate polari q , 9 col 

 polo in questo punto. 



La funzione u, considerata come dipendente dalle nuove variabili, sod- 

 disferà all'equazione 



mentre sulla circonferenza superficiale dovrà essere 

 — ==o cioè per o = R . 



se R è il raggio di questa circonferenza, ed inoltre 



u = <?{e) 



se <p(6) è la funzione che dà la velocità superficiale in questo caso. Noi 

 possiamo costruire una funzione v di q, la quale soddisfa all'equazione 



Ji v{q) + H = 

 ed inoltre sulla circonferenza q = R alle condizioni 



v(R) = 



Basta porre 



— v(q) = A(> s -f B lg ? + c 



con 



A = ^H B = — Jr 2 H C = — 7HR 2 + ÌHR 2 lgR. 

 4 2 4 2 



