3^8 



Matematica. — Sulla teoria degl'integrali semplici di l a specie 

 appartenenti ad una superficie algebrica. Nota VI del Corrispon- 

 dente Francesco Severi. 



12. Quando la curva C, considerata alla fine della Nota V sia una 

 curva qualunque del sistema continuo 2 cui appartiene C, e non più ima 

 curva vicinissima, la somma U relativa a risulterà perfettamente definita, 

 a partire dalla somma U relativa a C, tutte le volte che, entro 2, sia fissato 

 il cammino oo 1 con cui si va da C a C. Invero, i cammini d'integrazione 



per andare da P ai punti x x . x* , ... , x n ove C sega un piano y — cosi, 

 si otterranno aggiungendo ai cammini ts x , ... ~, d n quelli descritti dai punti 



x l , ... , x n di C quando G va dalla posizione iniziale a C, seguendo, entro 2, 

 l'assegnato cammino oo 1 . Ma l'incremento costante subito da U nel pas- 

 saggio da C a C dipenderà generalmente dal cammino oo 1 scelto entro 2. La 

 differenza fra due qualunque di questi incrementi sarà però un periodo di u. 

 Sicché possiamo dire che: 



Se G , G son due curve appartenenti su F al medesimo sistema con- 

 tinuo, le somme U,U dei valori assunti dall' integrale (24) nei punti ove 

 C , C segano un piano y = cosi., considerate come funzioni del parametro y, 

 differiscono per una costante additliva e per un periodo di (24). Quando (p 

 sia un aggiunta d'ordine m — la costante additliva manca. 



Osservazione l a . — Se g> = fosse un'aggiunta d'ordine m — 3 + l 

 {l > 1 ), passante con moltiplicita / per la retta impropria dei piani y = cost., 

 si perverrebbe analogamente alla conclusione che U — LÌ ammette in y = oo 

 un polo d'ordine / — 1 . mentre è olomorfa per ogni altro valore di y. Per- 

 tanto U — Ù sarebbe un polinomio d'ordine l — 1 in y. 



Osservazione 2 a . — Se le curve , C staccano sopra una sezione 

 piana A. fissata nel fascio y = cost., due gruppi equivalenti di punti, il 



valore costante, a meno dei periodi, assunto dalla differenza U — U. s'an- 

 nulla per ogni y, perchè ciò accade in corrispondenza a quella particolare A. 

 Ne deriva che le C , C staccano gruppi equivalenti sopra ogni curva del 

 fascio; e poiché trattasi di curve dello stesso ordine ed il fascio | A| (v/ = cost.) 

 è di grado > e privo di curve spezzate, le G , C risultano equivalenti 



(') Questi Rendiconti, pag. 296, 



