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del sistema, riduconsi a q linearmente indipendenti. Vi sono cioè q — q' in- 

 tegrali di F, che dànno somme costanti nei gruppi (0 , A). In tal caso F 

 possiede q' integrali semplici di l a specie riducibili, con 2q' periodi ridotti 

 (ibidem, pag. 560). 



14. Si presenta ora la seguente importante questione: Che cosa si può 

 dire di due curve C, , 2 , le quali stacchino sulla curva A, di cui sopra, 

 due gruppi di punti (Ci, A) , (C 2 ,A) nei quali gl'integrali u q + l ,...,u P 

 dieno somme congrue rispetto ai 2p periodi di. tali integrali? 



Occorre anzitutto avvertire che, quando gl'integrali semplici di l a specie 

 ài F si considerano come integrali abeliani (riducibili) inerenti alla curva A, 

 la congruenza fra le somme dei valori degl'integrali Ij , ... , I 9 nei gruppi 

 (Ci , A) , (C 8 ,A) può considerarsi da due punti di vista: 



1) si può richieder che le somme» stesse siano a due a due con- 

 gruenti, assumendosi a moduli delle congruenze i 2q periodi primitivi (ri- 

 dotti) degl'integrali li,... ,I 2 ; 



2) oppure si può richiedere che quelle somme sieno congruenti ri- 

 rispetto ai 2p periodi primitivi (non ridotti) degli integrali abeliani l^.-Aq. 



Evidentemente il secondo punto di vista è più restrittivo del primo, 

 perchè due quantità che sieno congrue nel senso 2) lo sono anche nel senso 1); 

 ma non, necessariamente, viceversa. 



Supposto che le q coppie di somme sieno congrue nel senso 1), ho pro- 

 vato altrove (Rendiconti di Palermo, 1906), che. se le Ci , C 2 appartengono 

 ad uno stesso sistema continuo, esiste un intero d tale che le due curve 

 dC l , dGt son equivalenti: dCi = o!C 2 . 



Se invece le q suddette coppie di somme son congrue nel senso 2), e le 

 Ci , C 2 appartengono sempre ad uno stesso sistema continuo, siamo ora in 

 grado di affermare che sarà addirittura C| = C 2 . Infatti, appunto perchè 

 Ci . C 2 appartengono allo stesso sistema continuo, le somme fornite dagli in- 

 tegrali m 9+ i , ... , u p nei gruppi (Ci , A) , (0 2 , A) son congrue rispetto ai 2p 

 periodi primitivi di questi integrali (n. 12); e quindi, se è soddisfatta l'ipo- 

 tesi 2), i due gruppi (Ci . A) , (C 2 , A), in virtù dell'ordinario teorema 

 d'Abel sulle curve, son equivalenti; donde segue l'equivalenza delle C t , C 2 , 

 in forza dell'osserv. 2 a del n. 12. Si può pertanto enunciare: 



Sopra una superficie F abbiami due curve Ci , C 2 , di uno stesso si- 

 stema continuo, che seghino sopra una terza curva irriducibile A , di ge- 

 nere Pj "tta a definire un fascio lineare di grado >0, due gruppi di 

 punti (C, , A) , (C 2 ,A) nei quali gl'integrali semplici di l a specie di 

 F . I, , ... , I 9 , dieno somme eguali, a meno di multipli interi dei 2q periodi 

 primitivi di I, , ... , l q . Esiste allora un intero positivo d tale che le curve 

 tóCi , dCz son equivalenti. Ma se le somme stesse sono anche eguali a meno 

 di multipli interi dei 2p periodi di I , ... I 9 , considerati come integrali 

 abeliani di A, allora le Ci , C 2 sono addirittura equivalenti. 



