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Al variare di Cu o meglio del sistema lineare |C,| entro (Ci), le 

 i . ... , c q assumono cci gruppi di valori, incongrui, non soltanto dal punto 

 di vista 1) del n. 14, ma anche dal punto di vista 2), perchè due gruppi 

 di valori di e, , ... , e ? , congrui rispetto ai 2p periodi non ridotti degl'inte- 

 grali abeliani li , ... , l q , non posson provenire, a cagione del teorema del 

 :i. prec. che da curve C, equivalenti fra loro. Vi sarà pertanto in (Ci) 

 una curva C n per la quale le dette somme assumeranno, a meno di multipli 

 interi dei suddetti 2p periodi, i valori ([,..., c' q . 



Quanto alle somme degl'integrali , ... , u p nei punti del gruppo 

 (Cj , A) osse saranno congrue a c q+1 , ... , c p (n. 14) e quindi a c' q+ì , ... , c' p , 

 le congruenze avendo anche qui luogo rispetto ai 2p periodi di ù q+ . x , ... , u p . 



Ciò significa che sulla A i due gruppi (Ci , A) , (C 2 , A) son equivalenti 

 fra loro e quindi che lo sono pure le curve Ci , C 2 , le quali staccano gruppi 

 equivalenti sopra ogni curva A. Ricordando che (CJ è individuato da uno 

 qualunque |Cj| oppure |C,| dei suoi sistemi lineari, appunto perchè consta di 

 c©2 sistemi lineari distinti (Severi, questi Rend., 1916, pag. 561), ne con- 

 segue che C 2 appartiene a ((\), cioè che C, = C 2 . 



Consideriamo adesso il caso eccezionale in cui nè Ci , nè C s stanno in 

 sistemi continui di ooi sistemi lineari. Assumiamo allora un sistema (D), 

 formato da oo? sistemi lineari, e. fissata una curva D di questo sistema, con- 

 sideriamo le curve D ~\- C) , D -j- C 2 , ciascuna delle quali individua un si- 

 stema (D -]- C,) , (D ' 2) • formato da 00? sistemi lineari distinti. Le 

 D -{- C, , D -f- C 2 verifican le ipotesi cui prima soddisfacevano le C, , C 2 , 

 e si può pertanto affermare che i due sistemi (D -f- C,) , (D -j- C 2 ) coinci- 

 dono e quindi, anche in tal caso, ('i=C 2 . Riassumendo possiamo enunciare: 



La condizione necessaria e sufficiente affinchè due curve Ci , C 2 dello 

 stesso ordine, tracciate sulla superficie P , siano algebricamente equiva- 

 lenti, è che i p — q integrali abeliani di l a specie individuati sopra una 

 curva irriducibile A, di genere p, variabile in un fascio lineare di 

 grado >0, privo di curve spessa te, dal proprio sistema aggiunto |A'|, 

 dieno somme congrue nei gruppi (C, , A) , (C 2 ,A). 



Osservazione. — l p — q integrali u q+l , ... , u P formano sulla curva A 

 un sistema regolare d' integrali abeliani di l a specie riducibili, avente 2{p — q) 

 periodi ridotti, il quale è complementare del sistema regolare di q integrali 

 riducibili staccato su A dagl' integrali di l a specie di F . 



Si possono perciò considerare anche qui le congruenze delle somme for- 

 nite dagl'integrali u q +t , ... , u p , nei gruppi (C, . A) , (C 5 , A), dai due punti 

 di vista indicati nel n. 14. E cioè si può porre la condizione che le dette 

 somme sieno congrue rispetto ai 2p periodi non ridotti che lo sieno rispetto ai 

 2{p — q) periodi primitivi ridotti. Nel primo caso si cade nell'ipotesi del teo- 

 rema ultimamente dimostrato ; nel secondo si potrà determinare un intero X 

 tale che i multipli secondo l delle somme suddette sieno congrui rispetto ai 2p 

 periodi non ridotti. Ne seguirà la equivalenza algebrica delle due curve ACi.AC 2 . 



