suite iniinédiatement si X est un polynome, puis si X est continue quelconqua 

 (d'après 2°) ( v ). 



Parmi les transformations jouissant de ces propri étés. on doit citer, à 

 coté de celles déjà examinées, celles qu'a détìnies M. Volterra et qui lui 

 servent dans la réduction d'une fonction à la forme canonique ( 2 ). 



Signalons aussi une généralisation : on peut dans 1°, remplacer l'en- 

 semble des fonctions X permutables avec l'unite par un autre groupe de 

 tbnctions permutables; en d'autres termes envisager des transformations ayant 

 les propriétés 2" et 3 3 et faisant passer d'un groupe de fonctions permu- 

 tables à un autre. Le passage à ce cas plus general est particulièremeni 

 simple pour les transformations mises sous la forme (4) de ma Note [A] , 



2. Repreuons une Sì du type considéré dans [A] . Elle peut se mettre 

 sous la forme 



(1) Gt(x , y) — (1° + m) X ( V' + n) . 



m et n étant deux noyaux associés de Volterra, c'est-à-dire vérirìant 



(2) (1° + m) (1° + n) = (Ì° + n) (1° + m) = ì° . 



Cette transformation fait correspondre, au groupe U du cycle ferme, un 

 groupe C de fonctions permutables constituant, cornine on le voit sans peine, 

 l'ensemble de touf.es les fonctions permutables avec une quelconque d'entre 

 dles. La transformation peut ótre dite régulière si Sì(l) est une fonction 

 régulière ( 3 ). 



Parmi les transformations précédentes, il convient de signaler celles, 

 que nous nommerons «, qui transforraent le groupe U en lui-mème; elìes 

 sont toutes régulières ( 4 ). 



Il est clair que en general, deux transformations (1) difterentes peuvent 

 conduire au méme groupe C: pour obtenir, a partir de l'une d'elles, toutes 

 les Sì qui coniuisent au groupe C, il suffit d'y effectuer, sur X, toutes 



f 1 ) La condition d'existence d'une transformation de ce genre [jouissant des pro- 

 priétés 1° à 3° et teli e que 12(1) = F] peut ótre mise sous la forme suivante: si le po- 



lynoine a 1 -j- a , 1'- -\ -\~ a n l n est inférieur en module à e, le polynome de compo- 



# » • 



sition a„ F + a } F 2 -\-...-\-a n • 1 U ' doit lui correspondre dans la transformation. est 

 inférieur à Ke. 



( J ) Cf. Volterra, Sulla teoria delle potenze, dei logaritmi, delle funzioni di compo- 

 sizione (Atti Lincei, 1 9 1 G . n. 7). 



( 3 ) F", esiste. Ce cas à déjà été caractérisé ([A]. n. os 3, 4, 6). 



( 4 ) En effet. dans ce cas, le noyau #(f : x , y) (cf. équation (1)> ne doit dé- 

 pendre que de ? et y — x-, l'équation qui exprime qu'il conserve la composition se sim- 

 ijHfìe alors, on véritie que la formule (2) de [\Aj] (où Fon prend /' fonction de la seulo 

 variable y — .e) en donne la solution générale. 



