les u>. Ces diverses transformations sont en mème tenips régulières ou non ; 

 dans le premier cas, le groupe C sera dit régulier. 



3. Envisageons maintenant une transformation 



(V) G(x ,?/) = ( 1° + M)Ì(Ì° -f N), 



M et N (données) n'étant plus assujetties à vérifier l'éqnation 



(2 r ) (Ì + M)(P + N) N) (Ì° 4- M) = 1°. 



Cette transformation ne conserve plus la composition, mais les G(x,y) 

 forni ent un troupe de fonetions permutables si 



(Ì° + N) (1° -fi) 

 appartient au groupe U , en d'autres termes si 



(3) N + M + NM = A(// — x) 



(h arbitraire). Les types (1) et (f ) se ramènent alors aisément l'un à l'autre. 

 La condition (3) entraine pour M et N des équations intégro-différen- 



tielles faciles à former Nommons J l'opération — -f- ~j <> n vérifie que 



(4) ^(MN) = ^MN + M^fT 

 de sorte que (3) équivaiit à 



-[- JM + 7N M + N 4M = 



ou 



JH. (i° + M) = — (1° 4- N) Jli . 



D'où, en nommant 



(1° 4- N) }{ì° 4- M) 



là valeur commune de ces rapports, résulte, en M et N, les relations in- 

 tégro-différentielles 



4. Admettons maintenant que f soit donnée. Soit M et N deux solu- 

 tions de (a) et (/?) telles que (2 f ) soit vérifìée ( 2 ). Il résulte de (3) que la 



( x ) Nous nous plafons, pour le faire, dans le cas régulier; au cas général sera con- 



sacrée une Note suivante. 



( 2 ) On peut choisìr l'une d'elles, M par exemple, solution quelconque de (/S); N en 



• * 



résulte par la formule N = — M + MS — M^4"'"- 



