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 solution generale de (a) sera telle que 



(fr + N) = (Ìo + A)(Ì» + N,); 



d'où 



N = ft + N + /ìN . 



h étant fonction arbitraire de y — x. De méine la solution generale de (/$) 

 sera 



k -{- M + M k \_k(y — x) arbitraire]. 



On veritiera que l'équation («) coincide avec l'équation intégro-difteren- 

 tielle que l'on peut de'duire, pour n, de l'équation (8) de ma Note [A]. 



De ce fait et des expressions précédentes pour M et N, résulte bien 

 aisément que, si l'on détermine /"par la relation (2") de [A], la formule (1') 

 [où M et N sont solutions quelconques de (a) et (/?)] représente toutes 

 les fonctions permutables avec F (x , y) . 



Un mot sur la revolution des équations (a) et (/?) : elles sont de types 

 traités par M. Volterra ( ] ). Nous indiquerons ici comment leur solution in- 

 troduit la transcendante <P(f ;x,y) donnée par la formule (2) de [A]: on 

 peut prendre, par exemple, 



N(a; , //) = <P(x ; o , y) M(x,y) — <P(b—y ,x,b) ( 2 ). 



5. Toutes les fonctions permutables avec F(x,y), données par la 

 formule 



G = (i° + M)l(l°4-N) 



sont alors telles que 

 ou, d'après («) et (/?) 



(*) Cf. par exemple, Lecons sur les fonctions de lignes, p. 163. 



( 2 ) Oette fonction y) est fort avantageuse à considérer. pour la siinplicité 

 de sa définition et ses norabreuses propriétés. Signalons ici, à coté des relation s (4), (6') 

 et (7) du Mémoire déjà cité (Ann. Ec. Norm.) la relation analogue 



«P (r ; x , y) = f(<s —x,y—x) +J J f(ae— % , %— i) V (r ; £ , y) rf£ 



pour <P Q qui lui est siinplement reliée [lbid. n. 6J. Cette relation conduit à (p) pour 

 y — constante : (6') conduit à (a) pour x = constante ; d'où les formule* du texte. 



( 3 ) Ou encore 



* * » • 



F -1 G = G F _1 . 



Rendiconti. 1921, Voi XXX. 1° Sem. 44 



