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13. Le considerazioni seguenti si applicano ad una serie y\ i cui gruupi- 

 corrispondano birazionalmente ai punti della curva sostegno C. Questa restri- 

 zione, che potrebbe togliersi senza difficoltà, è posta per rendere più breve 

 e chiaro il ragionamento. 



Tra il punto £ che descrive la curva C e i punti che costi- 



tuiscono il gruppo corrispondente della y\ passano (secondo Hurwitz) le p 

 relazioni seguenti, ove j\,-..,j v indicano gli integrali normali di prima, 

 specie relativi alla solita tabella di periodi [III, (30)]: 



(45) jt&ff) + . . . + = e*.7'i(f) + • • • + QkpMQ + 9n • 



Le Q h e qm sono costanti, quest'ultime legate ai periodi o degli inte- 

 grali j da 2p 2 relazioni a coefficienti interi g: 



[ Qhl — 9 Ih + Qlp+ì a h\ ~r * " " H~ Qltp <*hp ■< 



(46) < '-- 



| ^_Qhi G il = ffp+lh + 9p+lp+l °h\ + - ■ ' + Qp+lìp G hp i 



(A,i==l,2,...>). 



Avremo occasione tra poco di considerare, insieme alla y\ data, le serie 

 multiple yl n , y|» , ... che si ottengono riunendo a coppie, a terne . .. i gruppi 

 della y\ , serie che supporremo prive o liberate da gruppi equivalenti. E ad 

 esse potremo sostituire le y\ , y\ , y\ . .. . equivalenti. La prima di queste può 

 definirsi mediante le (45) ove a primo membro, in luogo di n, si scriva p;. 

 se, nella stessa ipotesi, al posto di ji{£) a secondo membro si sostituiscono 

 le somme dei valori che j\ assume in due, tre, ... punti di C, il gruppo 

 £[ , . . . , £' p varierà in y\ o y\ , . . . In breve, se per un dato gruppo di p punti 

 £ £p , scriviamo 



(29) Wi=/i(£i) +...+/«&,) (* = l,-2, ...,/»> 



e indichiamo con u\ le analoghe somme relative ad un secondo gruppo 

 £[,... ,£' p , possiamo dire che le p relazioni 



(47) Mfc = 9fci-Mi + ^2^2 + ••• -{-QhpUp 



definiscono la yj, , o la y| , o la , . . . secondo che dei punti £i , . . . , £ p . 

 teniamo fissi /) — 1, o/> — 2, ojo — 3,..., lasciando variare i rimanenti. 



Le (47), ove si cambino i segni a tutte le g M , rappresentano invece, 

 nelle stesse ipotesi, le serie y\ , y\ , y p , . . . , residue della y\ e dei suoi 

 multipli. 



La corrispondenza algebrica (45), che muta ogni punto £ in un gruppo 

 £[,... ,£' n della y\ , ammette una corrispondenza inversa che muta ogni 

 punto £' in un certo gruppo & , ove v è l' indice della y\ . Varranno,, 



al solito, relazioni del tipo 



(48) /„(£,) + . . . + y fc (fo = ^/.(n + . . . + ?*py P (r) + a , 



