— 358 — 



Se invece facciamo muovere il punto u lungo una varietà V r , a r di- 

 mensioni, immersa in V Pì il punto u' che gli corrisponde per le (51) descri- 

 verà una varietà Y' r che, in generale, sarà una trasformata birazionale 

 della V r . Se questa si riduce alla V, che rappresenta i gruppi G p della 

 curva C aventi p — 1 punti fissi, la V[ rappresenterà i G p di una y p equi- 

 valente alla Yn data. I n generale se Y r è la immagine dei G p con p — r 

 punti fissi, sarà V^, la immagine di una y r p equivalente alla serie mul- 

 tipla (n. 13) della y\ data. 



L'indice v r di questa y r p è il numero delle intersezioni della Y' r , sua 

 immagine, con una V p _ r , immagine dei G p aventi r punti fissi ; in simboli 



rv = [v;v ?) _ r ]. 



Ora fu già dimostrato [III, (39)] che questo numero è uguale al numero 

 delle intersezioni di Y' r con r varietà generiche del 1° ordine, diviso 

 per ri: 



D'altra parte il numero indicato nella nuova parentesi quadra si calcola 

 subito se si applica alla varietà V^. e alle varietà la trasformazione (1 , ó) 

 definita dalle (47). La Vj. si trasforma nella Y r (in corrispondenza biunivoca 

 con essa), presa insieme con un'altra varietà a r dimensioni che non interessa; 

 le si trasformano nelle varietà intermediarie <P sopra nominate. Abbiamo 

 dunque, applicando la (39) e la (36) della Nota III, 



[v; ©"] - [v r *g = l@P -r 02 = r , ir 



■e infine 



r f - = i r . 



Si conclude che l' invariante i r della serie data ,y* uguaglia l' indice 

 della y v r equivalente alla y r rn multipla della y,\ . 



Alla y r p equivalente si può sostituire la y r v residua, giacché nella rap- 

 presentazione analitica si passa dall'una all'altra serie mutando segno ai 

 coefficienti q m delle (47); con ciò cambiano segno anche i coefficienti Q h r_ 

 delle (48), ma non muta il determinante (51) dal quale solo dipendono gli 

 invarianti i h . Se si ricorda ora il n. 12, si conclude: 



Data una serie y\ sopra una curva di genere p , si formino le serie 

 YÌn iYsn, - riunendo i gruppi di quella a coppie, a terne, ... numero 

 dei gruppi della y r rn che appartengono ad una serie lineare g T \nZ^+ v gene- 

 rica è dato dall' invariante i r della y\ . 



