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L' interesse del carattere geometrico in esame, per r = 1 , fu da me 

 segnalato per tutt'altra via fin dal 1906. Più tardi (191 3) il Comessatti (') 

 ha preso in considerazione gli analoghi caratteri per r = 2 , 3 , . . . , p ed 

 ha dimostrato alcune proprietà di questi numeri. La notevole interpretazione 

 analitica stabilita dall'ultimo teorema fa vedere che essi forniscono effetti- 

 vamente i caratteri più importanti di una serie algebrica, e che in funzione 

 di questi converrà ormai esprimere tutti gli altri caratteri della serie. 



15. Sarebbe facile, partendo dalla definizione analitica degli invarianti i rr 

 ritrovare le proprietà date dal Comessatti per via diversa. Preferisco esporre 

 qui un'altra interpretazione analitica degli invarianti. 



Sappiamo già che la serie y' p , residua della y r rn , è descritta dal gruppo 

 rji , ... , rj p definito da 



r 



Mvi) H rMvv) — — y [wu;Y(f«H h QivMUy] J - e*. , 



a=i 



al variare degli r punti ti £V • L'indice della f v , ossia il numero dei 



gruppi contenenti r punti fissi 17,,..., rj r , è il numero delle soluzioni 

 delle p equazioni (0 congruenze) scritte, ove si considerino incogniti i punti 



&,...,£»•, tfr-M Vv- Dunque: 



Si formino le p equazioni a p incognite 



r_ 



(52) ^_ [gkiMt*) H r Q hv j v 'U)~\ -hMvr+i) H h;»(%) = cosfc - 



01=1 



Perchè il sistema antmeltà un numero finito di soluzioni è necessario 

 che, mentre £a descrive un ciclo sulla superficie di Riemann, il primo 

 membro della (52) aumenti di un periodo ; devono perciò verificarsi le (46); 

 restano allora determinati gli interi g hl e, mediante questi, gii inva- 

 rianti i r (n. 13). In tale ipotesi il sistema (52) ammette i r sistemi di 

 soluzioni £1 , • . . , £r 1 tjr+i , ■ ■ ■ , rj v , ove non si badi all'ordine delle f , 

 nè all'ordine delle i] . 



11 risultato classico relativo al problema di inversione di Jacobi si 

 ritrova se g hh = 1 . g hlt = (A =4= k). Era pur noto (Humbert, Scorza) il caso 

 r = p , ove i p = )| nia || . 



(') Sulle serie; algebriche..., Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo, t. 36. 



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