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Matematica. — Sulla teoria degl'integrali semplici di 

 l a specie appartenenti ad una superficie algebrica. Nota VII del 

 Corrisp. Francesco Severi. 



16. Il teorema con cui si chiude la Nota VI ( l ) offre un criterio di 

 equivalenza algebrica di due curve Ci ,C 2 . Ho già dato in passato (Math. 

 Annalen, 1906) due altri criteri per la dipendenza algebrica di curve trac- 

 ciate sopra una superficie; e cioè: 



1) Un criterio geometrico : La condizione necessaria e sufficiente 

 affinchè le due curve Ci , C 2 , dello stesso ordine, tracciate sulla superficie F, 

 sieno algebricamente dipendenti, per modo che risulti : 



« 



2Ci EE A-Cì (per l intero conveniente), 

 è che sieno soddisfatte le condizioni aritmetiche : 



[c, , Ci] = Ed , e,] = [C, , e,]- 



ove [Cj , Cj] , [C 2 , C 2 ] sono i gradi virtuali di C, , C 2 e [Ci , C 2 ] il numero 

 dei punti ad esse comuni. 



2) Un criterio trascendente: La condizione necessaria e sufficiente 

 per l'equivalenza algebrica delle Ci ,C 2 , aventi lo stesso ordine, è che esista 

 su F un integrale semplice di 3 a specie, il quale possegga le sole curve 

 logaritmiche Ci , C 2 . 



11 criterio 2) costituisce il ponte di passaggio fra la mia teoria della 

 base per la totalità delle curve algebriche tracciate sopra una superficie 

 algebrica F ed il teorema fondamentale di Picard concernente il minimo 

 numero di curve di F, che possono assegnarsi ad arbitrio come curve loga- 

 ritmiche d'un integrale semplice di 3 a specie. 



Orbene, il criterio trascendente del n. 15 costituisce il ponte di pas- 

 saggio fra la teoria della base e la nozione di curve ■primitive introdotta 

 da Poincaré. È ciò che ci proponiamo di mostrare nel numero successivo. 



17. Su F sieno tracciate / curve algebriche Ci , C 2 , ... , C ( . Sieno 

 Su , s t i , ... , Su le somme fornite dall' integrale u q +i (i = 1 , ... , p — q) rispet- 

 tivamente nei gruppi (Ci , A) , (C 2 , A) , ... , (G t , A) . Cerchiamo sotto quali 

 condizioni è possibile determinare t numeri interi ^ , ... , ,«< (positivi, nega- 

 tivi o nulli, ma non tutti nulli), tali che per ogni curva A del fascio |A|, 



(*) Questi Rendiconti, pag. 328. 



