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considerato nel n. 15, sussistano le relazioni: 



(25) jWiS„--j \-n t Sti = Q (modd. 2p periodi non ridotti) 



{i = 1 , 2 , ... , p — q) . 



Circolando attorno ad un valor singolare y = b la somma Sjt aumenta 

 di &jiWi(y), ove %i è un conveniente intero ed o>i(y) è il periodo di w 9+ f aL 

 ciclo nullo t avvolgente i due punti critici £ x , f 2 , che tendono al punto di 

 contatto del pian tangente y = b , col tendere di y a b (n. 10, Osa. 2 a ). 

 Sicché, se è possibile di scegliere gì' interi [i x , fi t non tutti nulli, in 

 guisa tale che sia: 



Ai Pi H h Ai Ut = (t = 1 , ... , p — q) , 



l'espressione y_fijSji si conserva olomorfa attorno ad y — b. 



j 



Analoghi gruppi di equazioni di condizione per , ... , ,u t si avranno 

 in corrispondenza agli altri valori singolari di y, qualora si voglia che 



l'espressione ^~ Sjj si conservi olomorfa dovunque, cioè ch'essa riducasi 



j 



ad una costante. Ora, se t è maggiore del numero N(jt) — q) delle equazioni 

 di condizione che si vengono così a scrivere — ove N è la classe della su- 

 perficie F — si potranno di certo determinare valori interi non tutti nulli 

 delle ;ì soddisfacenti al complesso di quelle equazioni; e così per tali va- 

 lori delle fi saranno soddisfatte le relazioni: 



l-h Sii -j- f- Vi Su = Ci , 



ove le Ci sono costanti. Ma per y = oo le somme sono identicamente nulle 

 in. 6), dunque è d = 0; e quindi per quei valori non tutti nulli degl'in- 

 teri f.i sono soddisfatte le (25). 



Le Sjì {i = 1 , ... , p — q) sono p — q funzioni normali di Poincaré 

 (n. 10, Oss. 3 a ), relative alla curva C,-: e precisamente quelle che provengono 

 dagl' integrali u q + x , ... , u p . 



Le funzioni normali rj h (h = 1 , ... , q) che provengono dagl'integrali 

 Ij,... son costanti, definite a meno di multipli interi dei 2q periodi 

 ridotti. 



Il ragionamento svolto ci dice che, data P , esiste un intero q j> 1 , tale 



che su F si possono tracciare q curve C, , ... , C p , le quali forniscano, rispetto 



agl'integrali u g +i, somme Sjì (j — 1 , ... , q) linearmente indipendenti, nel 



senso che non sussista fra esse alcuna relazione del tipo ^ fij s ;t - = , per 



j 



valori interi non tutti nulli delle fi ; ma che data un'altra curva qualsiasi C 

 di P e indicate con s,- le somme fornite da C "mediante gl'integrali u q +i 

 (i ■= 1 , ... , p — q) , sussistano, per valori interi delle ^t, , ... , /i p , le relazioni: 



(26) fi Si == fii Su H hj"p s ?t (/=1.... ,p — q), 



con fi 4= . Si ottiene così il teorema : 



