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reali ed i punti doppi reali di C n vengano tutti sciolti dalla * piccola va- 

 riazione » topologica assegnata, riuscendo anzi in questo caso la * piccola 

 variazione » algebrica effettuabile in un fascio del quale venne pure indicata 

 la costruzione 



Qui fondandomi sopra un metodo di rappresentazione iperspaziale, che 

 mi sembra non privo di interesse per la sua semplicità, giungo a rispondere, 

 sempre in senso affermativo, al quesito più generale, risolvendo così esau- 

 rientemente una questione che si può ritenere fondamentale nello studio della 

 « piccola variazione ». 



2. Premetto alcune osservazioni di carattere puramente algebrico e indi- 

 pendenti da considerazioni di realità. 



Si rappresentino le curve piane di ordine n coi punti di uno spazio 

 lineare S r ad r — ~ n (n -f- 3) dimensioni. I punti-immagine di curve dotate 

 di punto doppio sono i punti di una ipersuperfìcie V d'ordine 3(n — l) 2 . 



Un punto P semplice per V sarà immagine di una curva dotata di un 

 sol punto doppio ordinario M. 



Si ricordi che, in un fascio di curve piane d'ordine n, una curva avente 

 punto doppio ordinario in un punto-base semplice è da contarsi due volte 

 fra le 3(« — l) 2 curve del fascio dotate di punto doppio. Ne segue che 

 l' iperpiano tangente a V in P è l'immagine del sistema lineare oo r_1 delle 

 curve piane d'ordine n passanti semplicemente per M ( 2 ). 



3. Più in generale se una curva piana 0" d'ordine n possiede d punti 

 doppi ordinari M, , M ? , ... , M d , il suo punto-immagine P sarà f/-plo per V. 

 Anzi esso sarà ^/-iperplanare, essendo gli iperpiani tangenti in P alle d falde 

 le immagini dei d sistemi lineari oo''~ 1 delle curve piane d'ordine n pas- 

 santi rispettivamente per M, , M 2 , ... . M d . 



Si osservi ora che il sistema delle curve d'ordine n aggiunte a C" è 

 regolare ( 3 ), ossia che il passaggio semplice di una curva piana di ordine n 



(') Sulla generazione ecc. (cit.), § 9, § 10. 



( 2 ) Ne segue pure, ma qui non occorre, clic un iperpiano tangente a V la tocca 

 lungo un Si— 3I immagine del sistema lineare oo r ~" di curve piane d'ordine n passanti 

 doppiamente per uno stesso plinto M. 



f 3 ) Proprietà nota per C n irriducibile; cfr. Bertini, La geometria delle serie lineari 

 sopra una curva piana secondo il metodo algebrico [Annali di Matematica, serie 2 a , 

 tomo 22 (1894), pp. 1-40]: n. 17. Basterà dunque provare che se l'affermazione vale 

 per C n spezzata in h componenti irriducibili, essa vale per C n spezzata in A. — |— J . Sia 

 f=f 1 f t = Q l'equazione di C n , essendo f,=0 (d'ordine n t ) spezzata in h di dette com- 

 ponenti ed f s = (d'ordine ìh) la rimanente. Per il teorema di Noether kf-\- Bqp nel 

 caso semplice, il sistema delle aggiunte d'ordine n a G n è: 



(1) A,/ì + A 1 / t 1 = 



ove Aj = varii comunque nel sistema delle aggiunte d'ordine ìli ad /', • = . Ma (1) è 



