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4. Supponiamo, ora, che il filo sia elastico e che compia soltanto delle 

 vibrazioni infinitesime attorno alla sua posizione di equilibrio, in modo che 

 sia soddisfatta la legge di Hooke, che cioè la tensione del filo sia propor- 

 zionale alla dilatazione che essa produce nel filo stesso. Indicati allora con 

 Su e óv gli incrementi che le coordinate di un punto qualunque del filo 

 subiscono nel passaggio dalla posizione di equilibrio a quella di movimento, 

 ad un dato istante, e con u e v le coordinate del medesimo punto allo 

 stesso istante, si avrà: 



u = óu , v = v -f- óv . 



Se poi indichiamo con T il valore costante di T nella posizione di 

 equilibrio, e con óT V incremento che subisce la tensione stessa quando il 

 filo passa dalla sua posizione di equilibrio a quella di movimento, si avrà 

 pure : 



T = T, + ÓT = T -f m , 



con k costante, e 6 essendo la dilatazione che un elemento ds del filo su- 

 bisce nel passare dalla posizione di equilibrio a quella di movimento. Si 

 può osservare che 



. l/(clóuy-\-(dv + dó~vy — dv 



o = -, > 



dv 



e quindi, trascurando infinitesimi di ordine superiore, 



e per T abbiamo 

 (9) 



Osserviamo ancora che, per una nota forinola di geometria differenziale, 

 indicata con K la curvatura totale della superficie, si ha, nel nostro caso, 



K = --L ìlìl 



e perciò, lungo la linea u = , 



\ 7m* / M=1 



Sviluppando j/G nell' intorno del valore u '— , in serie di Maclausin, si 

 ha allora 



1/G = 1 — iKw 2 H 



e = 



3W 



T = T + k' 



