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ove S è il numero dei punti doppi dell' involuzione 1' secata dalle coniche 

 di (k) sopra una sezione piana generica o di y; e <T è il numero di quei 

 punti (distinti o no) di c, su ognuno dei quali cadono (su due rami) due 

 punti coniugati della detta . 



Si noti inoltre che, indicando con p c il genere di c, e con pi il genere 

 di là, cioè di (k), è (per la formula di Zeuthen) ó = 2(p c -{-l) — 4pt . 



2. Si osservi, ora, che dalla (l), giacché ó e ó' non sono negativi ed è 

 fi = 4, si deduce s = 1 . 



Inoltre, siccome certamente esistono piani tangenti a tre coniche di (k), 

 ma non a tutte le coniche di questo fascio, così è sempre <? >. 3 ; anzi 

 precisamente à = 4 e, quindi, <T = 0. 



3. Sia (n) razionale e gobbo, onde (nn. 2 e 1) la sezione piana gene- 

 rica della superficie y è di genere p c = 1. Ne segue che y è proiezione della 

 superficie y 1 , dell' S 6 , rappresentata nel piano dal sistema lineare [^i 23 |, ove 

 i punti 1,2,3 sono in posizione generica tra loro. 



I piani delle coniche di y x aventi per immagini le rette uscenti dal 

 punto 1 (p. es.), coniche che costituiscono un fascio (&i), generano una va- 

 rietà a tre dimensioni la quale, come facilmente si dimostra, è d'ordine 

 quattro. Proiettando y x da un piano generico, in un S 3 , otteniamo una su- 

 perficie y d'ordine n = 6, la quale possiede tre fasci di coniche ; e i piani 

 delle coniche di ognuno di questi fasci costituiscono un inviluppo (n) gobbo, 

 razionale e di classe ^==4. 



Che (n) sia gobbo, si dimostra osservando che se, invece, fosse conico, 

 dovrebbe esistere un S 3 passante per il piano centro di proiezione, e conte- 

 nente o una curva incontrata da tutti i piani del fascio (Aj), ovvero un 

 punto comune a tutti questi piani medesimi. La prima ipotesi è assurda 

 perchè il piano centro di proiezione è generico, e quindi non incontra la va- 

 rietà costituita dai piani del fascio (#,) ; la seconda ipotesi, poi, si esclude 

 subito, osservando che due qualunque coniche di (ki) non giacciono in uno 

 stesso S 4 . 



4. Supponiamo, ora, che l'inviluppo (jt), pur essendo ancora gobbo, sia 

 ellittico, onde (nn. 2 e 1) è p c — 3 . 



Dunque (') la superficie y esiste, ed è riducibile, mediante una trasfor- 

 mazione cremoniana, a un cono cubico ellittico, sul quale le sezioni piane 

 di y sono rappresentate da curve d'ordine otto, passanti doppiamente per il 

 vertice del cono, con altri tre punti-base doppi e due punti-base semplici 

 (distinti o infinitamente vicini) ( 2 ). 



(') Scorza, Le superfìcie a curve sezioni di genere 3 [Annali di Matematica, ser. 3 a , 

 tomo XVI, n. 50 ; e tomo XVII, nn. 7 e 8]. 



( 2 ) Si noti che y non è alcuna delle superficie studiate dal Castelnuovo, Sulle super- 

 ficie algebriche le cui sezioni sono curve di genere 3 [Atti della R. Accademia delle 

 scienze di Torino, voi. XXV (1890)], perchè y è irrazionale e (k) non ha alcun punto-base. 



