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5. Supponiamo, ora, che l' inviluppo (tt) sia conico, cioè abbia un (solo) 

 punto-base V; questo sarà doppio per y e punto-base per il fascio (k). 



6. Sia (u) razionale, onde (nn. 2 e 1) la sezione piana generica di y 

 è di genere p c = \. Ne segue che y è proiezione della superficie yi, dell' S 6 , 

 rappresentata nel piano dal sistema lineare ove i punti 1 e 2 sono 

 infinitamente vicini tra loro. 



7. Sia ora (n) ellittico (e conico), sia cioè pi = 1, e quindi (nn. 2 e 1) 

 p c = 3. Ne segue, tenendo conto dei citati lavori di Castelnuovo e di Scorza, 

 che y esiste ed è rappresentabile sul cono cubico (ellittico) mediante un 

 sistema lineare oo 3 di curve del sesto ordine segate da quadriche che toc- 

 cano il cono in un punto fisso (*), e passano per due punti generici di questo 

 cono medesimo. 



8. L'inviluppo (re) sia di genere pi = 2 . 



Proiettando genericamente sopra un piano x il fascio (k), si ottiene 

 un sistema (k') oo 1 di coniche (generalmente irriducibili) d' indice v = 6, 

 cui appartengono, ognuna contata due volte, le quattro rette b x , b t , b 3 , b 4 , 

 tracce, in t, dei quattro piani di (n) passanti per il centro di proiezione. 

 Anzi, se D è un punto qualunque di una di queste quattro rette, delle sei 

 coniche di (k') passanti per D due coincidono con questa retta (doppia) 

 medesima. 



Stabiliamo ora un'omografia fra le coniche-luogo di x e i punti di un S 5 . 

 È noto ( 2 ) che alle coniche di t, ognuna costituita da una retta doppia, cor- 

 rispondono i punti di una superficie xp di Veronese. Siccome le rette bi,b 2 , 

 b 3 , b 4 appartengono ad un fascio, ad esse, contate due volte, corrispondono 

 quattro punti B, , B 2 , B 3 , B 4 di una stessa conica t di xp. Inoltre, al sistema 

 lineare oo 4 delle coniche di x passanti tutte per un punto D di b x , p. es., 

 corrisponde l'iperpiano tangente doppio 2 di xp lungo la conica d corrispon- 

 dente di D, e, per quanto sopra si disse, quest' iperpiano 2 deve segare la 

 sestica c 6 , corrispondente di (k'), in sei punti, due dei quali devono coinci- 

 dere in Bi , onde 2 passa per la tangente di c 6 in B 1 . 



Ripetendo il medesimo ragionamento per ogni punto di b x , si deduce 

 che la tangente di <? 6 in Bi deve appartenere a tutti gli iperpiani tangenti 

 doppi di xp lungo le coniche di questa passanti per B, . Ma tutti questi 

 iperpiani hanno in comune soltanto il piano tangente a xp m Bi , quindi la 

 tangente di e 6 in questo punto appartiene a questo piano tangente. Conclu- 

 dendo, possiamo affermare che la curva c 6 e la superficie xp si toccano nei 

 punti B l ,B 2 ,B 3 ,B 4 , onde c 6 appartiene all' iperpiano tangente doppio di xp 

 lungo la conica t, e il birapporto di questi quattro punti, considerati in t, 



(') Castelnuovo, loc. cit. in ( 5 j, n. 9. 



( 2 ) Segre, Considerazioni intorno alla geometria delle coniche di un piano e - 



[Atti della K. Accademia delle scienze di Torino, voi. XX (1885)]. n. 1. 



