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dimostrare che la circostanza, supposta per una delle tre serie, si verifica 

 necessariamente anche per le altre due. 



2. Siano u x , «2 , u% i tre parametri che fissano la posizione di ogni 

 singola superficie nelle rispettive tre serie, sicché nella nostra ipotesi si 

 corrisponderanno nei due sistemi (2) , (2) i punti di eguali coordinate cur- 

 vilinee (tii , Ui , u 3 ). Ora supponiamo, di più, che due qualunque superficie 

 corrispondenti S , S' in una delle tre serie, p. es. nella & 3 = cost, siano 

 toccate in ogni coppia P , P f di punti corrispondenti da una medesima sfera, 

 Descriviamo allora per ogni tale coppia di punti il circolo C normale alla 

 sfera inviluppante e quindi alle due superficie S,S'. È hen noto che il 

 sistema degli co 2 circoli costruiti è un sistema ciclico (ved. Lezioni di geo- 

 metria differenziale, voi. II, § 281), cioè ammette una serie oc 1 di super- 

 ficie ortogonali, fra le quali figurano le due S , S'. Inoltre si sa che la 

 congruenza degli assi di questo circolo ha sviluppabili reali, e queste cor- 

 rispondono alle linee di curvatura (ui) , (u 2 ) di S , S'. Se con F, , F 8 si indi- 

 cano i due fuochi della congruenza sull'asse del circolo C , le rette PFi , 

 P'Fi sono le tangenti a due linee di curvatura corrispondenti di S , S', e 

 similmente le congiungenti PF 2 , P'F 2 dànno le tangenti alle linee di cur- 

 vatura dell'altro sistema (ibid., § 276). D'altra parte queste due tangenti 

 PFi , P'F! sono le normali nel punto P a due superficie corrispondenti di 

 una delle altre due serie, diciamo le 2^ = cost; e similmente PF 2 , P'F ? 

 saranno le normali a due superficie corrispondenti dell'altra serie w 2 = cost. 

 E siccome PF, = P'Fi , PF 2 = P'F 2 , ne risulta appunto che anche due 

 superficie corrispondenti della serie u 1 = cost , o della u 2 = cost, sono tras- 

 formate di Ribaucour l'una dell'altra. 



3. Premesse queste considerazioni geometriche, andiamo a ricercare col- 

 l'analisi tutti i sistemi tripli ortogonali (2) trasformati di Ribaucour di 

 un sistema dato (2). Questo sistema sarà definito, nel solito modo, dalla 

 corrispondente espressione del ds 2 



( 1 ) rfs 2 = Hf duì + H 2 2 dui + Et dui , 



e si riterranno le consuete notazioni (X t - , Y t - , Z,) 2 = 1,2,3 pei coseni di 

 direzione degli spigoli del triedro principale, e (i ={= k) per le sei rota- 

 zioni. Si sa che queste rotazioni sono legate dal sistema differenziale 



Note le sei rotazioni in funzione di u x , w 2 , u 3 , è determinata l'im- 

 magine sferica del sistema triplo ; ma esistono infiniti di questi sistemi 



