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Denotando poi con T il valore algebrico del segmento PP, avremo 



(6) x = x + T£ , 

 colle analoghe per y , s ; e, sostituendo nelle (3), 



(7) % = X i -^. 

 Ora dobbiamo avere SX* = 1 ( 2 ); e siccome 



sxf=i , sr = i , sfXi««i, 



dalle (7) deduciamo 



T 



e per ciò 



(8) X t =X f -2« j ?. 



Ma si osservi che, inversamente, se le a* soddisfano la (5), queste formolo 

 Xf = Xj — 2a i (a 1 Xi -j- a t X 2 -f- a 3 X 3 ) 



dànno in effetto i coseni di direzione (X; . Y* , Z,) «' = 1,2,3, degli spigoli 

 di un triedro trirettangolo, perchè risulta identicamente 



SX;X*=0 (»4v*)- 



5. Il nostro problema analitico consiste nel trovare le condizioni a cui 

 debbono soddisfare le funzioni incognite T , ai , a 2 , a 3 affinchè le formolo (6) 

 definiscano un sistema triplo ortogonale (2) col triedro principale (Xi,Y t -,Z,). 

 Le condizioni a ciò necessarie e sufficienti saranno date dalle relazioni 



(9) S ^S = ° (?=M) ' 



soddisfatte le quali il nuovo sistema triplo ortogonale (2) sarà trasformato 

 di Ribaucour del sistema (2) e i raggi Ri , R 2 , R 3 delle tre sfere invilup- 

 panti saranno dati dalle forinole 



(10) , Et = _5_ , Es= ^L. 



La condizione (9), a causa delle (2), (6), (7), si scrive 

 (9*) S(X l -2«, f )(H < X, + ||f + T^) = 0; 



(') Col simbolo S indichiamo la somma di tre termini simili rispetto agli assi x,y ,z. 



