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Queste formole, nelle quali si ponga per F una qualunque soluzione del 

 sistema (C), danno tutti i sistemi tripli ortogonali (2) derivati dal primi- 

 tivo (2) per trasformazione di Ribaucour. Osserveremo che le formole (8) 

 pei coseni X; si scrivono, alla loro velta, 



8. Dalle (10), calcolando i raggi Ri delle sfere inviluppanti, abbiamo 



T fl>T _F_ 



ossia 



HjF 



(17) R, = — 



Ne risulta il teorema di Ribaucour [ved. Darboux, Lecons sur les systèmes 

 orthogonaux (2* me édition), pag. 400) : Dato un sistema triplo ortogonale 

 (2), se si prende una soluzione qualunque F del sistema (C), e sulle tre 

 normali in un -punto P si riportano i tre segmenti PF,- = R* dati dalla 



(17) , le tre sfere coi centri in Fi , F 2 , F 3 che passano per P, passano 

 anche per un_secondo punto P il quale descrive un nuovo sistema triplo 

 ortogonale (2). 



Ma la ricerca eseguita nei nn. precedenti dimostra, inoltre, che questo 

 teorema di Ribaucour dà il più generale sistema triplo ortogonale (2) de- 

 rivato da 2 per una trasformazione di Ribaucour. 



9. È già stato osservato dal Darboux (loc. cit., pag. 401) che il teo- 

 rema di Ribaucour, applicato alla ricerca di nuovi sistemi tripli ortogonali, 

 non dà nulla di più dei metodi combinati delle trasformazioni parallele 

 (o di Combescure) e delle inversioni per raggi vettori reciproci. Si riconosce 

 meglio l'identità dei due metodi, ponendola sotto questa forma più espressiva : 



Se due sistemi tripli ortogonali (2) , (2) sono trasformati di Ribau- 

 cour l'uno dell'altro, esistono due altri sistemi tripli ortogonali (2') , (2') 

 rispettivamente paralleli a (2), (2) e che si deducono l'uno daWaltro 

 con un'inversione per raggi vettori reciproci. 



Per dimostrarlo, riferiamoci alle formole sopra stabilite ed osserviamo 

 che, siccome W, , W 2 , W 3 soddisfanno alle (B*), se si pone 



; x'= w,x, + w 2 x 2 + w,x 3 



(18) j y r =W 1 .Y 1 + W,Y, + W,Y, 

 /^W.Z, + W 2 Z 2 -f w 3 z 3 , 



queste formole definiscono un sistema triplo ortogonale (2') parallelo a (2). 



