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mente al problema analogo pei sistemi n pli ortogonali nello spazio S w 

 euclideo definito da 



(21) ds* = dxì + d4-] \- àx\ = H\ dui + HI dui + • • ' + H 2 „ du\ . 



Estese le considerazioni geometriche del n. 2 ai sistemi n pU ortogonali, 

 basta invero riprendere i calcoli dei nn. 3-7 colle formole generali dei si- 

 stemi n pli ortogonali per giungere ai risultati seguenti. 



Si prenda una qualunque soluzione F = ~F(ui , u 2 , ... , u„) del sistema 

 differenziale 



F« = (*'=M), 



ottenuto eguagliando a zero le derivate seconde miste covarianti di F [cal- 

 colate rispetto alla forma differenziale (21)], sistema la cui soluzione gene- 

 rale contiene n funzioni arbitrarie essenziali. Allora le formole stesse (I) 



2P 



(II) Xi = xì — p{xi , F) i = 1 , 2 , ... , n 



daranno il più generale sistema n pl ° ortogonale (2'), derivato per trasforma- 

 zione di Ribaucour dal sistema primitivo (2). 



La formola (17) per i = \ ,2,...,n fornisce i raggi delle n ipersfere, 

 che toccano le n superficie coordinate in un medesimo punto P di (2), e 

 passano per un secondo punto (P) che descrive il nuovo sistema n pl ° orto- 

 gonale (2). È questo il teorema di Ribaucour esteso all' S„ euclideo. 



Osserviamo, ancora, che dalle (II), servendosi delle formole di deriva- 

 zione invariantiva, si calcolano facilmente i coefficienti H; pel sistema de- 

 rivato (2), e si trova 



2F.Fi, 



(22) Ut = Hi 



HiJ^ ' 



formole che valgono in particolare per n = S. 



Ed anche qui, nello spazio euclideo ad n dimensioni, si vede che le 

 trasformazioni di Ribaucour si decompongono in trasformazioni parallele ed in- 

 versioni per raggi vettori reciproci. Ma non è senza interesse osservare che, 

 se dagli spazi euclidei si passa agli spazi generali a curvatura costante, 

 rappresentandosi questi conformemente sullo spazio euclideo con conserva- 

 zione delle sfere, esistono ancora manifestamente le trasformazioni di Ribau- 

 cour, ma non sono più decomponibili come nello spazio euclideo. 



11. Ritornando per semplicità al caso dello spazio ordinario, conside- 

 riamo sulle tre normali alle superficie coordinate in un punto P i tre centri 

 F t , F 2 , F 3 delle sfere inviluppanti. Da quanto si è detto al n. 2, risulta 

 che il triangolo F, F 2 F 3 viene proiettato dai due punti corrispondenti 

 P , P di (2) , (2) secondo i due rispettivi triedri principali. Inoltre, se 



