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funzione di P (e, quindi, anche di P ), tale che, per d arbitrario, 



(d) XdP=dP , AN=N (')• 



In ciò che segue supponiamo che u sia un vettore funzione di P e nor- 

 male ad N (cioè uXN = 0), e poniamo u = /u. Ne segue che u è 

 normale ad N , perchè u X N = X AN = u X N = . 



Formule fondamentali della flessione. 



1. Per l'omografia di, che non è un'isomeria (Fond., pag. 9), si hanno 

 le notevoli formule seguenti, che la caratterizzano completamente: 



(1) dl.ìH = ((f l — Xa)dP ( 2 ), 



(2) <W . u = H }(A<r — (r A)u,No( rfP • 



La (1) segue subito differenziando la 2* delle (d), poiché, per le (a) e (d), 

 si ha, così, 



di. N = dN t — l dN = tf„ dP — Xa dP= a X dP — XadP. 

 Per la (2) si osservi che, differenziando XóP=óP , si ha: 



dX . ÓP=dóP — XdàP, 



e quindi, sviluppando i doppi prodotti vettoriali e per le (d), (b), si ottiene: 

 (di . ÓP)A(dP AdP<,) = {d àP XóP — X dòPXÓP ) dP — 



— {dóP X dP — XdóPX dP ) àP Q 

 = (d ÓP XÓP — dóPX àP) dP p — [d 6P X dP — dSPX dP) àP 

 = k d [(ÓP )* - (ÒP)*] dP - \ 8 [(dP o y - (d />)*] JP = Q; 



il che prova che dX.óP è parallelo a dP /\óP , cioè ad N. E siccome àP 

 è arbitrario fra i vettori u normali ad N, è c?A.u = AN , da cui, molti- 

 plicando internamente per N , per il teorema di commutazione e la (1)°, 

 si ha: 



h = No X di . u = u XKdl .N = u X (tr .K l . a ) dP = 



= dP 6 X {Xa — tf X) u , 



che, sostituita nella precedente, dà la (2). 



(') Che equivalgono a: 

 (d)° KXdP = dP , KAN„ = N. 



(*) Ossia l'equivalente: 

 (1 )° dKX . N„ = (cKX - KX . <r ) dP . 



Anche nel seguito scriveremo (in generale) una sola delle formule, ottenendosi l'altra 

 cambiando a , X , N , li , P, in <r, , KX , N . u • 



