di significato geometrico preciso e semplice, e dipendenti inoltre esclusiva- 

 mente da , P , N , k, e, quindi, assoluti. 



Sottintendendo l'indice P a Grad, è già noto (Gr., n. 6) che si ha: 



(11) Grad * = k — kXN.N , (12) Grad e = (P— 0) — wN, 



(13) l^ i = _ kxN-ff _ H((;k?N) . 



Inoltre, poiché, differenziando la 3 a delle (10), per le (a) si ha: 

 dw=NxdP+(fdPX{P— 0) = [N + ff(P — 0)~]XdP, 

 differenziando la (12), si ottiene immediatamente : 



(14) d&r d f Q ^l-^-HlN-r-o-C/ 3 - OhNfO). 



Operando con I, nelle (13) e (14), si hanno subito le note formule \_Gr., 

 n. 6 (13), (21)]: 



(15) I, - G J^ d - = div Grad g = -~ k X N . I x <f , (di Beltrami), 



(16) I 1 ^^ = divGrad ? = 2-w;. I.cr. 

 v dP 



Se operiamo invece con I 2 , si ha: 



ti?) i,^^i=.[i-(OMd«)'j.n», 



(18) I 1 ^£_:i,^*? = l + [( G 1 ad € )>-2^.I,« (•). 



la cui dimostrazione, sotto forma assoluta, è notevole per la sua semplicità. 

 Basta infatti applicare regole più volte citate, osservando che, per le (11), 



(12) , (10), è 



(Grad*) 2 = 1 — (kXN) 2 , (Grad qf = 2q + te» — 2ic* = 2q — w 2 , 



( l ) Per dP sempre normale ad N, il termine — H(N , N) della (14) può essere 

 trascurato; non però quando convenga considerare dP variabile fuori del piano tangente 

 in P. A seconda della forma che si sceglie per la (14), i calcoli seguenti subiscono lievi 

 modificazioni; i risultati coincidono. 



( a ) Le (15), (16), (17), (18) corrispondono alle ordinarie formule espresse col tachi- 

 grafo J : 



j t z = — HZ , j a9 = 2 — wH , 



Ji t Z = (l — di») K , JsQ — = 1 + (JiQ — 2q) K. 



