— 181 — 



Osservando che [A. V., 1, pag. 77 [4]] 



d(zGraiz) d Grad z ■ rT -, n j \ 

 -^—jp ' = * — Jp V H (G rad * • Grad *) , 



e calcolando i due invarianti l x . I 2 . la (I) diventa : 



(li) ^divGrad^-HGrad*) 2 — *Grad*X C Grad ^ = 1, 



che è un'altra forma dell'equazione differenziale di S . 



Ponendo infine, al posto di Grado, il valore (11), dopo facili riduzioni 

 si ha: 



(III) I 1 <r.(kXN) 2 + kX(Tk4-^^ = 0, 



che è appunto la forma assoluta della (22) di Bianchi (loc. cit., pag. 14), 

 la quale, ridotta direttamente, dà 



— li <r . (k A N) 8 f kX«rk + I 1 «r + - k -^ = 0, 



z 



riducibile subito alla (III). 



Alla (III) si dà pure facilmente la forma 



(IV) I,g — Grad* XCtf Grad* + kXN =0, 



z 



notevole perchè riduce l'equazione differenziale di S alla forma semplicissima 



+ kXN/* = 0, 



quando si ponga come condizione che le linee di livello di S (z = cost) 

 debbano essere assintotiche di S [cfr. Fond., pag. 26 (3)]. Resterà da di- 

 scutere quando tal condizione è soddisfatta. 



9. In modo analogo si trova l'equazione differenziale di S , dopo aver 

 provato che 



/om T T . kXN . 1 



(20) I ' ff ° = I '* + -^ + 7kXN ' 



formula che si ottiene facilmente senza bisogno di conoscere l'equazione 

 differenziale di S. 



Infatti, osservando che w = (P — M ) XN = 2%ìzXXS = *kXN , 

 scritta la (16) per t-o.-Poi e fatto 11 cambiamento precedente, si ha: 



I 1 ^^ = 2-,kXN.I 1 <r , 



e quindi, per formule precedenti, 



*kXN.I 1 (r = 2 + *kxN.I,ff — l-f-(kXN)*, 

 da cui segue subito la (20). 



