— 186 — 

 Potremo allora asserire che 1' uguaglianza 



K t K 3 — K K 4 „ , K 2 K 4 — Kl 

 (4) Ks= KI-KK3 Kt+ KÌ-KK3 K ' 



ottenuta dividendo i membri della (2) per la differenza (3), sussisterà per 

 tutte le coppie di valori delle variabili set, eccettuate tutt'al più quelle 

 coppie eventuali che annullano il denominatore comune dei due rapporti. 



3. Ciò premesso, suppongasi che i due rapporti si riducano a due co- 

 stanti (finite), che indicheremo rispettivamente con a e §\ e che queste 

 siano ambedue diverse da zero ('). 



La (4) allora si può mettere sotto la forma: 



(5) K,(rf) = aK,(tf) + /*K(«), 

 da cui si ha 



K(st) = \ K<t(si) —r - K t (¥t) . 

 P P 



Supponiamo che la (1) ammetta la soluzione h(t). Allora, moltiplicando 

 i membri della precedente uguaglianza per h(t) dt ed integrando, dovrà ne- 

 cessariamente aversi 



(6) g(s) = - g t (s) — - g,{s) . 



La (6) è quindi condizione necessaria ; essa è poi anche sufficiente. Infatti 

 alla (6) può darsi la forma 



g(s) = \\{st) [J g x {t) - U - dt , 

 dalla quale si deduce che la (1) ammette la soluzione 



(7) Kt) = \gAt) — jg{t)- 



Possiamo quindi affermare che, se i rapporti 



KgK 3 — EK j K 8 K 4 — Kl 

 Kf — K K 3 ; Kf — KK 3 



si riducono a due costanti finite e non nulle ( 2 ) ce e fi, condizione neces- 

 saria e sufficiente affinchè La (1) ammetta soluzione è che la g(s) si 



(') Affinchè nessuna delle costanti a , § sia nulla, è necessario che le costanti y n , 

 relative a K(st), non siano tutte eguali tra loro. 



(') Se una delle due costanti a e /S è nulla, le costanti y n sono tutte eguali tra 

 loro; ricadiamo perciò nel caso considerato nella seconda delle Note citate. 



