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possa ammettere sotto la forma (6) ; in tale caso, la (7) sarà una solu- 

 zione dell'equazione data. 



4. Il teorema continua evidentemente a sussistere anche se a e § sono 

 funzioni della sola s. Esso poi si estende facilmente al caso in cui il nucleo 

 K(st) sia esprimibile linearmente mediante un numero finito p di nuclei 

 iterati: si possa cioè mettere sotto la forma: 



(8) K = « 2 K 2 + a 3 K 3 H \-a p K p , 



dove le a sono delle costanti, o tutt'al più delle funzioni della sola s. 

 Il teorema perciò è senz'altro estensibile ai nuclei elementari 



Y (p r (s) lff r (t) 



pei quali, com'è noto ('). esiste sempre un numero p tale, che ogni nucleo 

 iterato d'ordine >p, è una combinazione lineare a coefficienti costanti, dei 

 nuclei K 2 , K 3 , ... K p _i e può porsi quindi sotto la forma (8). 



5. È degno di nota il fatto che, se K(st) soddisfa alle condizioni per 

 esso poste al n. 3, l'equazione 



(f>(s) = X f 6 K(sO <p{t) dt 



J a 



non può sussistere che per tutt'al più due soli valori di X . 



Moltiplicando invero ambo i membri della (5) per <p(t) dt ed integrando, 

 si ha: 



g>(s) <p(s) g>(s) 



cioè 



0X* _j_ a X — 1 = ; 



X quindi non può assumere più di due valori distinti. 



Nel caso che K(st) sia un nucleo simmetrico, uno di questi due valori 



+ 1 — 1 



dovrà necessariamente essere l'uno dei due seguenti: -*-=- , — - — ; essendo* 



Vy Vy 



(') L. Sinigallia, Sulle funzioni permutabili di seconda specie, Rend. della R. Acc. 

 dei Lincei, seduta del 15 dicembre 1912. 



