A tale scopo, ci proponiamo di mostrare la relazione molto semplice, 

 che lega tra loro le costanti a , § e y . 

 Riprendiamo la relazione 



K 3 (st) = aK t (it) + pK(st) ; 



e, dopo aver in essa mutato s in r, moltiplichiamone i membri per K n -i(sr) 

 ed integriamo da a a b . Otterremo 



K n _ t (st) = aK n - 1 (st) + § K n (st) , 



ed anche 



K n+2 (st) — fi K„(st) = a K n+1 {st) . 



Si elevi al quadrato e si eseguisca la doppia integrazione, rispetto alle due 

 variabili set. 



Ricordando che 



rb rb rb rb rb 



K n +t{st) K n {st) ds dt= E n (st) ds dt K M+1 (sr) ~K(rt) dr = 



J a J a J a J a J a 



= P f 6 K n+1 (sr) ds dr C ~K n {st) K(rt) dt = 



J a J a J a 



^b rb 



j [K„ +1 (sr)] 2 ds dr = U 2n +t , 



avremo 



Ujn-M 2/5 U 2n-K2 ~f~ fi 2 ^ in == 0(2 U 2 )i-t-2 • 



Ed ancora, dividendo ambo i membri per U 2 „ e tenendo presente l'ugua- 



T U2nn-2 



ghanza — — = y» , 



U 2n 



Yn y«+i — 2/S y„ + /S 2 = a 2 y n ■ 



Infine passando al limite per n = co, si ha 



y 2 -(« 2 -f- 2/?)y + /* 2 = 0, 



che è la relazione cercata ; dalla quale si ricava 



«-f 2 i Ì±aJ' « J -)-4|J 



y = 2 ' 



dove bisognerà naturalmente prendere quello dei due segni =t che rende 

 positivo y. 



Nel caso, poi, che si avessero due valori positivi, per discernere quale 

 dei due dev'essere scelto basta ricordare che, nel nostro caso, deve sussi- 

 stere la relazione 



U 2 >y>y 1 . 



