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risso al piede della normale P. Ciò equivale manifestamente a dire che 

 tutte le sfere col centro in segano la superficie 2 sotto quest'angolo co- 

 stante, onde segue che le linee d'intersezione di queste sfere con 2 sono 

 linee di curvatura di 2; per ciò 2 è intanto una superfìcie modanata, la 

 cui sviluppabile direttrice è un cono col vertice in (ved. Lezioni di geo- 

 metria differenziale, voi. II, § 319). Di più le linee di curvatura dell'altro 

 sistema sono tracciate nei piani tangenti di questo cono, e, incontrando ivi 

 le rette del fascio col centro in sotto l'angolo costante e, sono spirali 

 logaritmiche (eguali) col polo in 0. Viceversa, ogni superficie modanata a 

 direttrice conica, il cui profilo piano generatore sia una spirale logaritmica 

 col polo nel vertice del cono, è una superficie 2 della classe richiesta. 



Se prendiamo il punto fisso come origine delle coordinate cartesiane, 

 e scriviamo l'equazione di queste superficie modanate 2 sotto la forma ordi- 

 naria s = z(x , y), è chiaro che le superficie 2 sono tutte e sole le superficie 

 integrali della equazione a derivate parziali del primo ordine 



poiché questa esprime appunto che la normale alla superficie è inclinata 



TX 



dell'angolo — — <r sul raggio vettore che va al piede della normale. 



a 



Dalle considerazioni seguenti intenderemo escluso questo caso ovvio di 

 superficie della classe richiesta, dove i coni proiettanti, su cui le dette linee 

 di curvatura sono lossodromiche sotto l'angolo o\ si riducono a piani. 



2. Per una superficie qualunque S, si scrive subito l'equazione differen- 

 ziale di quelle linee, tracciate su S, la cui tangente in ogni punto P è 

 inclinata dell'angolo costante a sul raggio vettore OP. Essa è manifestamente 



(1) 



px + qy — s 



= sen a , 



V% 2 + y % + ** Vi + f + q 



x dx -j- y dy -f- zdz 



= COS (7 , 



Vx % + if + z 2 Vdx* + dì/ + dz 



ovvero, se poniamo per brevità = -j- y* ~\- z 2 , 



Per le superficie generali da noi cercate, queste linee debbono coinci- 

 dere con un sistema di linee di curvatura di S, per il che occorre e basta 



