che l'equazione (2) di secondo grado nel rapporto — abbia una radice a 

 comune coll'analoga per le linee di curvatura 



(2*) }(1 +f) s —pgr\ do:' + }(1 -\-p*)t — (1 + <f)r\ dx dy -f- 



Eguagliando a zero la risultante delle due equazioni di secondo grado 



(2) , (2*), si ha dunque l'equazione a derivate parziali del secondo ordine 

 caratteristica per le superficie richieste. Risulterà, dalle ricerche seguenti, 

 che l' integrazione di questa equazione (che non importa scrivere esplicita- 

 mente) equivale a queila della equazione per le superficie pseudosferiche. 

 È poi evidente che l'equazione del 1° ordine (1) fornisce un integrale par- 

 ticolare dell'equazione stessa. 



Non lascieremo di osservare che nel caso limite, ove il punto fisso 

 si respinga all'infinito, in una determinata direzione, l'integrazione della 

 corrispondente equazione del 2° ordine si effettua subito geometricamente. 

 In questo caso le superficie integrali, come risulta dalle proprietà della 

 rappresentazione sferica, sono tutte e sole le superficie modanate la cui 

 sviluppabile direttrice ha i piani tangenti inclinati dell'angolo costante <r 

 sulla detta direzione, restando arbitrario il profilo piano generatore ( 1 ). 



3. Per ricercare le superficie S dotate della proprietà prescritta ci ser- 

 viremo delle formole per la rappresentazione sferica: cosa che possiamo fare 

 senza omettere alcun caso, perchè, come facilmente si vede, nessuna svilup- 

 pabile trovasi fra le superficie richieste. 



Indichiamo con 



(3) ds' 2 = e du* + g dv 2 



il quadrato dell'elemento lineare nella rappresentazione, sicché intanto i 

 coefficienti e , g dovranno soddisfare all'equazione 



(4) H ± + ± ^ + 1^ = 0. 



che dà la condizione necessaria e sufficiente perchè l'elemento lineare (3) 

 appartenga alla sfera di raggio = 1. 



(') Si consideri che le immagini delle linee di curvatura inclinate di uu angolo 

 costante sopra la direzione fìssa sono eliche sferiche congruenti per rotazione attorno 

 al diametro d^lla sfera che ha quella direzione, e le loro traiettorie sono circoli massimi 

 i cui piani inviluppano un cono di rotazione. Di qui le proprietà segnalate nel testo. 



