Indichiamo, al solito, con (X* , T f , Zi) i 1 , 2 . 3 i coseni di direzione 

 •dei tre spigoli del triedro principale, e cioè con 



Xi , Ti , Zi i coseni della tangente alla v = cost 

 X 2 , T 2 , Z 2 » « u — cost 



X 3 , Y 3 , Z 3 » della normale alla sfera. 



Questi soddisfano, come si sa, alle equazioni del quadro seguente: 



( 5, (Sl4^ x , , * _ V2^ Si _^ X! 

 i/a 7>y y e l>u 



colle analoghe per Y e Z . Determiniamo poi la nostra superficie S in coor- 

 dinate tangenziali prendendo per incognite le tre distanze (algebriche) Wj , 

 W 2 , W 3 dell'origine dalle tre facce del triedro principale col vertice nel 

 punto (x,y,g) di S; precisamente poniamo 



W^SjbX, , W 2 = SrX 2 , W 3 = SxX 3 . 



Come risulta derivando, le tre funzioni W, , W 2 , W 3 debbono soddisfare al 

 sistema differenziale 



i W, ,/- w W 3 ,/- w 



~òu ~ìv 



Viceversa, se (W l , W 2 , W 3 ) è una terna qualunque di soluzioni delle (I), 

 si ha una corrispondente superficie S coli' assegnata immagine sferica, data 

 dalle formole 



(6) a, = W 1 X, + W 2 X i + W 3 X 3 , 



colle analoghe per y , z . 



Ora, venendo alla nostra ipotesi, supponiamo che sulla S le linee di 

 curvatura di un sistema, p. es. le w = cost , abbiano in ogni loro punto P 



