la tangente inclinata dell'angolo risso tr sul l'aggio vettore OP. Siccome 

 X 2 , Y 2 , Z 2 sono i coseni di direzione della detta tangente, mentre quelli 

 del raggio vettore OP, essendo 



x t 4. y * + g t = Wf + Wl + WS , 



possono scriversi 



se y z 



j/wf 4- w; + Wl |/wì + w^ + wi Vwi + ws + ws 



la nostra ipotesi si traduce nell'equazione 

 xX 2 4-yYH-gZj 



j/wì + wi 4- w^ |/wf 4- ws + wi 



= cos 0" , 



ossia 



(7) Wf 4- Wl = tg 2 ff WS . 



Viceversa, se le funzioni W 2 , W 2 , W 3 soddisfano alle equazioni differen- 

 ziali (I), ed a questa (7) in termini riniti, la superfìcie S , data dalle (6), 

 apparterrà alla classe richiesta. Il nostro problema si riduce dunque ad esa- 

 minare per quali forme particolari dell'elemento lineare sferico (3) ammette 

 soluzioni il sistema che si ottiene aggregando alle (I) l'equazione in ter- 

 mini finiti (7). 



4. Per questa ricerca procediamo, come insegnano i metodi generali, 

 formando le conseguenze differenziali della (7) che si aggregheranno al si- 

 stema (I). Derivando la (7) rapporto ad u, i>, ed osservando le (I), troviamo: 



l w.j^+t/Jw.-tg'* -L 2J£w.{-o 



(8) 



Ora, i casi, in cui si annullasse W, o W 2 , sono da escludersi: il secondo, 

 perchè incompatibile colla (7); il primo, perchè condurrebbe appunto alle 

 superlicie modauate del n. 1 ('), caso che trascuriamo. Ed allora, soppri- 



(') Se Wi = 0, per la (7) si può fare W 3 =tg<fW 2 , e le (I) dànno 



>VZ = , ^ = , ^ = | ^ cot<rW ,. 



3w òu 1 H 



La prima di queste dice che le linee u = cost sulla sfera sono circoli massimi (geodetiche), 

 onde si può fare g — 1 , e resta 



Wj = , W, = Ge vavta , W 3 = Otgfff;'-"' 0tC7 (Ccost), 



forinole che, come subito si vede, corrispondono alle superficie modanato del n. 1. 



