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mendo dalle (8) i fattori W, , W 8 , ed aggregando alle (I) le equazioni 

 così ottenute, otteniamo per le funzioni incognite Wj , W 2 , W 3 il sistema 

 seguente : 



Questo è un sistema lineare omogeneo ai diiferenziali totali in Wi , W 2 , W 3 ; 

 e se costruiamo le relative condizioni d' integrabilità, troviamo che esse si 

 riducono all'unica seguente: 



Se supponiamo che i coefficienti e , g dell'elemento lineare sferico (3) 

 soddisfino, insieme alla (4), anche alla (9), il sistema differenziale (II) è 

 completamente integrabile, sicché F integrale generale (W L , W 2 , W 3 ) di- 

 pende da tre costanti arbitrane, potendosi fissare ad arbitrio, per un sistema 

 iniziale u = w , v = v delle variabili, i valori di W, , W 2 , W 3 , ciò che 

 fissa la terna integrale. Ma di più si vede che il sistema differenziale (II) 

 ammette l' integrale quadratico 



e basta quindi prendere i valori iniziali di W x , W 2 , W 3 in guisa eh si 

 annulli la costante del secondo membro, dopo di che risulterà soddisfatta 

 la (7), e le forinole (6) daranno una superficie S della classe cercata. 



5. Il nostro problema è. così, ricondotto essenzialmente alla ricerca di 

 quelle forme (3) dell'elemento lineare sferico, i cui coefficienti e , g soddi- 

 sfanno insieme alla (4) ed alla (9), ossia alle due equazioni 



(II) 



(9) 



Wf + Wf — tg Wf = cost 



ovvero 



Queste, integrate, dànno 



U 



