dove U è funzione di u soltanto, e V di v soltanto; e poiché, cangiando 

 i parametri u , v, si viene a moltiplicare U per una funzione arbitraria di u, 

 e V per una funzione arbitraria (positiva) di v, possiamo disporre dei para- 

 metri in guisa da rendere U = V = 1, dopo di che avremo 



(10) 



• (^'+,-1. 



La forma di questa seconda suggerisce l' introduzione di un angolo ausiliario 

 colle posizioni 



1 a = sen co , — = — — == cos co . 

 \/e 



onde risulta 



~òw 



e la prima delle (10) si traduce nell'equazione a derivate parziali per co 



/TTI\ ~** W 



(111) = sen co . 



Questa è la notissima equazione da cui dipende la ricerca della superficie 

 pseudosferiche. E viceversa, se co è una soluzione della (111), assumendo 



i/e — — , \f Q — sen 



l'elemento lineare 



(11) ds' 2 = P^X du 2 + sen'co dv* 



appartiene alla sfera di raggio = 1 ; ed avendosi 



1 -*1/q 1 ^\ r e . 



—= — — — cos co , — = — - — = 1 , 



ye "te \/g tv 



tutte le condizioni sono soddisfatte. Pertanto ad ogni soluzione co della (III) 

 corrispondono co* superficie S le cui linee di curvatura u = cost , proiet- 

 tate dall'origine, sono lossodromiche, sotto l'angolo fisso arbitrario ce, dei 

 coni proiettanti. Esse si ottengono integrando il sistema differenziale com- 

 pletamente integrabile corrispondente a (II): 



— — = tg 2 <rW 2 — — W 3 , — — = cos wW 2 

 (A) ' — - = W, , = cot 2 cr(cos <oW, -f sen coW 3 ) 



— — = — VV , , = sen o)\\ , 



