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scegliendo una terna integrale (Wj , W 2 , W 3 ) che soddisfi inizialmente alla 

 (7), e quindi anche per tutti i valori di u , v (n. 4). Sostituiti i valori di 

 una tale terna nelle forinole (6), si ha così una delle nostre superficie S , 

 coli' assegnata rappresentazione sferica (11), le quali vengono in effetto a 

 dipendere da due costanti arbitrarie. Si osservi, per altro, che una di esse 

 è puramente moltiplicativa in W, , W 8 , W 3 , e non è quindi altro, per le (6), 

 se non una costante d'omotetia. 



6. Conviene, ora, che interpretiamo geometricamente i risultati ottenuti, 

 per la qual cosa cominciamo dallo scrivere il sistema differenziale (5), cui 

 soddisfano i nove coseni (X,- , Y, , Z,) nel caso attuale dell'elemento lineare 

 sferico (11), e cioè 



= — X 2 X 3 , — cos ai X 2 



~Ò%-2 -57- 1)X 2 „ .-_ 



12) < - — = X, , = — costtìXi — senwXa 



~òu ~òv 



DX 3 l)oo 7)X 3 



Segue, da queste, che si ha 



= sen <w X s 



^X 2 



cos a) . X 2 , 



cioè le tre funzioni 



f = X 2 , rj = Y 2 , £ = Z 2 , 

 sono soluzioni dell'equazione di Moutard 



= COS 0) . (v 



legate dall' identità quadratica 



£* + i? 8 + C 8 = l • 



Per le formole di Lelieuvre relative alle asintotiche (Lezioni, voi. I, 

 § 77), vi corrisponde quindi una superficie pseudosferica S di raggio =1, 

 le cui coordinate x 6 , y , 3<> di un punto mobile si calcolano per quadrature 

 dalle formole (Lelieuvre) : 





7)Y 2 



7)Z, 





Y, 



z 2 



~òu ~ 



~òu 





~ÒV ~ 



7>Y a 







Y, 



z 2 





7>y 





