le quali, osservando le (12), si trasformano subito nelle altre 



(13) ^ = X 3 , — = cos «X, — sen «Xx . 



Per l'elemento lineare sferico ds della superficie pseudosferica S , rife- 

 rita alle asintotiche (u,v), risulta di qui la ben nota forma 



(14) ds i = du 2 + 2 cos co du dv + dv 2 . 



Si osservi, di più, che, per le prime (13), X 3 , Y 3 , Z 3 sono i coseni di dire- 

 zione della tangente all'asintotica v = cost su S , e si ha, per la (11), 



dXi + dYl + dZi = P^J du 2 + sen 2 » dv 2 . 



Ne concludiamo quindi : 



La forma (11) dell'elemento lineare sferico, con co soluzione della 

 (III), si ottiene, nel modo più generale, considerando la congruenza delle 

 tangenti alle asintotiche di un sistema di una superficie pseudosferica S 

 e prendendo nella rappresentazione sferica della congruenza il sistema 

 sferico {ortogonale u , v) che corrisponde alle asintotiche dei due sistemi. 



7. Ora esaminiamo meglio la dipendenza geometrica delle nostre super- 

 fìcie S dalle pseudosferiche S , partendo dall'osservazione che X 2 , Y 2 , Z 2 

 sono, ad un tempo, i coseni di direzione della tangente alla linea di cur- 

 vatura il = cost sopra S e della normale alla superficie pseudosferica S . 

 Pertanto, nella congruenza della tangente alle u = cost su S. l'immagine 

 sferica (u , v) delle sviluppabili è quella delle asintotiche della pseudosfe- 

 rica S , e per ciò la congruenza stessa non è che una congruenza di Gui- 

 chard (ved. Lesioni, voi T, § 151). Le sue sviluppabili (u , v) tagliano cioè 

 non solo la prima falda focale S, ma anche la seconda, che diremo S', 

 lungo le linee di curvatura. Questo confermeremo ora subito col calcolo 

 diretto, e di più dimostreremo che questa seconda falda S f è, alla sua volta, 

 una superficie della medesima classe: con questo, però, che le sue linee di 

 curvatura lossodromiche dei coni proiettanti dall'origine sono quelle del- 

 l'altro sistema v = cost, e l'angolo <r si cambia nel suo complemento 



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Prendiamo le forinole (6), che definiscono S; e derivandole rapporto 

 ad u,v, osservando le (A) e le (12), otterremo 



— = -^- W,.X, , 



COS^tf 



— = — ~— (cos wW, 4- senw\V s ) . X 2 = — — - — - • X 2 ; 

 ~òo serra 1 cos 2 <r 7>y 



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