- 231 — 



vatura di S che sono lossodromiche, sotto l'angolo a, dei coni che le 

 proiettano dall' origine, e prendendo la seconda falda focale S' della con- 

 gruenza stessa. Sopra la S' le linee di curvatura lossodromiche dei coni 

 proiettanti dall'origine sono quelle del sistema opposto, e l'angolo d'inolt- 

 ri 



nazione a è cangiato nel suo complemento — — a. 



8. La costruzione ora indicata dà in sostanza una trasformazione invo- 

 lutoria delle nostre superficie S , che vengono sempre a presentarsi a coppie 

 associate (S , S'), sicché le superfìcie di una stessa coppia sono le due falde 

 focali di una speciale congruenza di Guichard e corrispondono ad una me- 

 desima superficie pseudosferica S , le normali di S essendo parallele alle 

 tangenti delle asintotiche di un sistema di S , e quelle di S' alle tangenti 

 delle asintotiche dell'altro sistema. 



Ora osserviamo che si ottiene un'altra trasformazione involutoria sem- 

 plicissima delle superficie S dall'inversione per raggi vettori reciproci rispetto 

 all'origine. E infatti, siccome l'inversione conserva gli angoli e le linee 

 di curvatura e lascia fisse le rette per l'origine, è evidente che sussiste il 

 teorema : 



Una superficie S , le cui linee di curvatura di un sistema sono los- 

 sodromiche, sotto l'angolo costante a, dei coni che le proiettano dall'ori- 

 gine 0, si cangia per un inversione rispetto all'origine in un'altra super- 

 ficie S della medesima classe, e corrispondente allo stesso angolo a . 



E qui non fa nemmeno eccezione il caso delle superfìcie modanate 

 del n. 1, le quali per l'inversione si cangiano in altre tali superfìcie mo- 

 danate. 



Ritornando al caso generale, osserviamo che, mentre la superficie S 

 corrispondeva ad una certa soluzione co della (III), la sua trasformata S 

 per raggi vettori reciproci corrisponderà ad una nuova soluzione w. la quale 

 si può subito calcolare dalle forinole d' inversione. 



Sembra così, a prima giunta, che questo risultato dia una nuova classe 

 di trasformazioni delle superficie pseudosferiche. Ma una più attenta analisi 

 dimostrerebbe che, in realtà, le trasformazioni così ottenute si riducono in 

 sostanza alle trasformazioni di Bàcklund. 



9. Si è ricondotta la determinazione delle superfìcie S a quella delle 

 superfìcie pseudosferiche S , ed alla successiva integrazione del sistema diffe- 

 renziale (A). Che cosa possiamo dire rispetto alla integrazione di quest'ultimo 

 sistema? Dimostreremo che: l'integrazione del sistema differenziale (A) 

 si può effettuare in termini finiti, appena si conoscano le linee geodetiche 

 della superficie pseudosferica S , nel caso di a = 45°, o quelle di una 

 sua trasformata di Lie nel caso generale. 



Cominciando dall' indicato caso particolare di e = 45°, già per sè molto 



