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notevole, osserviamo che il sistema differenziale (A), essendo qui tgcr = l, 

 diventa: 



Wi w ita w ìW, w 



= W 2 W 3 . = COS CO . W 2 



~ÒU ~bu ~òv 



(A*) / = W, , = cos où W , -f- sen wW 3 



I ~òU ~òV 



= — W, , = sen wW 2 . 



Ora, supposto di averne una terna integrale W\ , W 2 , W 3 , che soddisfi 

 alla corrispondente condizione (7) 



(16) Wf + W!=W!, 



dimostriamo che 



Sulla superficie pseudosferica S le linee W 2 === cost formano un si- 

 stema di oricicli paralleli. 



Per questo cominciamo dal calcolare il parametro differenziale primo 

 JiW 2 della W 2 rispetto all'elemento lineare (14) della S , cioè 



W 2 DW 2 



COS 00 



^iW, = — 2 , 



sen v « 



e troveremo subito, dalle (A*) e dalla (16), 

 (17) ^W 2 =WI. 



Indi calcoliamo la curvatura geodetica — delle linee W 2 = cost dalla for- 

 mola di Bonnet 



W 8 -òW 2 ìW, VW 2 v 



/COS 00 \ /COS 00 \ ) 



1 / UUo W i / 



1 \ ~ò ì ÌV ÌU \,J_( 



ìnwi ~òu\ sen &> f/^Wo l'ìv\ 



Q g senta sen a>yJ L W z J sen <» f/^/,W 2 J\ 



ed avendo riguardo alle (A*), alla (16) ed alla (17), troveremo, dopo sem- 

 plici riduzioni, 



(1S) — =1, 



Le forinole (17), (18) dimostrano appunto che le W 2 = cost formano 

 sulla S un sistema di oricicli paralleli. E allora se prendiamo sulla S a 

 linee coordinate (a , fi) questi oricicli « = cost, e le loro geodetiche orto- 

 gonali /S — cost (parallele nel senso non euclideo), daremo all'elemento 

 lineare ds la forma tipica parabolica 



(19) dsl= dtf + e^dp*,, 



