dopo di che avremo, a meno di un fattore costante. W 2 = e*. E introdu- 

 cendo questo valore di W 5 nelle (A*), avremo le forinole definitive 



W 1 = e" — . W, = ^ , W, = e«(— — — cotco— ) , 

 ~òu \sen co ~òv ~òu r 



dove si osserverà che la relazione quadratica (16) fra W, , W 2 . W 3 non è 

 altro che la ben nota relazione 



J l a = 1 ., 



a cui soddisfa l'arco a delle geodetiche § = cost contato dall'oriciclo a = 0. 



10. Possiamo facilmente invertire i risultati precedenti e dimostrare: 

 La terna più generale (Wi , W 2 , W 3 ) di soluzioni del sistema (A*) 

 si ottiene riducendo l'elemento lineare della superficie pseudosferica S 

 {in uno degli oo 1 modi possibili) alla forma tipica parabolica (19), ed 

 assumendo quindi W, , W 2 , W 3 dati dalle formole (20). 



Tutto si riduce a verificare che W, , W 2 , W 3 , calcolati dalle (20), sod- 

 disfano in effetto al sistema (A*). Ora si sa che, se il dsl, dato dalla (19), 

 si trasforma in coordinate curvilinee qualunque in 



(21) ds\ = 1 &du* + 2¥du dv-t-Grdv t , 



la funzione <Z> = e a soddisfa alle equazioni del sistema di Weingarten (ved. 

 Lezioni, voi. I, § 184) 





ai) 



ui> t><2> 





\ 1 j ~ÒU 







{12} l>(t> 



(12) 1)0 



~òu ~òv 



(1 ) ~ÒU 



(2) -òv 



~ò 2 <t> 



(22} 7><2> 







( 1) ~òu 



{2) -òv 



i simboli di Christoffel riferendosi alla forma differenziale (21). Nel caso 

 particolare della forma (14), si ha E = G = 1 , F — cos co , e le precedenti 

 diventano 



cot » f- <P 



~òu 2 ìtt ~òu sena» ~òu l>v 



1u ~òv 



cos oo . <2> 



