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E siccome i valori (20) sono 



le precedenti dimostrano che tutte le equazioni del sistema (A*) risultano 

 verificate, c. d. d. 



11. Possiamo dare un'altra forma a questo risultato ricordando che le 

 congruenze di Guichard, e quindi le superficie che ne formano le falde focali 

 e le loro evolute (superficie di Voss). dipendono dalle deformazioni infinite- 

 sime delle superficie pseudosferiche. Nel caso attuale di a = 45°, la corri- 

 spondente soluzione della equazione alle deformazioni infinitesime 



= cos o) . (y 



1>U ~ÒV 



è data da W 2 = e a , e corrisponde al movimento infinitesimo parabolico 

 della S in se medesima, nel quale gli oricicli a = cost strisciano in se 

 stessi ; onde concludiamo : 



Le superficie S della nostra classe, colle linee di curvatura di un 

 sistema inclinate di 45° sulle generatrici dei coni che le proiettano dal 

 punto fisso, corrispondono singolarmente ai movimenti parabolici infinite- 

 simi in se stesse delle superficie pseudosferiche. 



Da questo caso particolare di <r = 45° passiamo al caso generale di e 

 qualunque, applicando le trasformazioni di Lie nel modo seguente: 



Se nel sistema differenziale (A), con a qualunque, cangiamo le funzioni 

 incognite W, , W 2 , W 3 . ponendo 



w^tgtfw; , w 2 = w; , w 3 = t g <rw^ 



e nello stesso tempo cangiamo i parametri u , v ponendo 

 u = u' cot a , v = v' tg a , 



il sistema (A) diventa precisamente il sistema (A*) scritto per Wi,W£,Wj, 

 e pei nuovi parametri u' , v' . Ma, per questo cangiamento di parametri, la 

 soluzione <p(u,v) della (III) si cangia nella nuova m(u tg <r , v cot e) pre- 

 cisamente colla trasformazione L ff di Lie. Concludiamo quindi : 



Per integrare il sistema differensiale (A), con o qualunque, basta 

 conoscere della superficie pseudosferica S la superficie derivata per tras- 

 formazione L di Lie, e su questa le linee geodetiche. 



Se si parte da una superficie pseudosferica S di cui siano note tutte 

 le trasformate di Bàcklund e di Lie (p. es. dalla pseudosfera, o da un'eli- 



