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Ciò posto, ove sia m la massa dell'elemento circostante a P, si ha, 

 per definizione, 



t = { y wvX v » 



il sommatorio intendendosi esteso a tutti gli elementi materiali del sistema. 

 Deriviamo T rapporto ad w 3 , ricordando da un lato la (6) e dall'altro 



l'espressione testé ricavata per . Si ha tosto 



Q, = Y O v X j u 3 A (P — 0){ ] = u 3 X X [(P — 0) A m v] . 



Il coefficiente di u 3 nel prodotto scalare testé scritto si presenta come il 

 momento risultante K delle quantità di moto del sistema S rispetto al 

 punto 0. Si ha quindi 



Q 3 = K 3 , 



rappresentandosi ovviamente con K v (v = 1,2,3) le componenti del vet- 

 tore K secondo gli assi Ox, X% Xs • 



Di qua il teorema: Ogniqualvolta una rotazione elementare dell'ipo- 

 tetico corpo rigido C , attorno ad un asse qualsiasi passante per 0, corri- 

 sponde ad una identica rotazione d' insieme del sistema S , la componente 

 del vettore Sì rispetto all'asse di rotazione coincide col momento risultante, 

 rispetto allo stesso asse, delle quantità di moto di S. 



In quest'enunciato è detto asse qualsiasi passante per 0, mentre la 

 dimostrazione formale testé esposta contempla l'asse coordinato Ox 3 (soli- 

 dale con C). È chiaro tuttavia: 



1°) che, se si tratta di un altro asse qualsiasi, supposto pure soli- 

 dale col corpo, basta assumerlo (come è certo lecito, non essendosi fatta 

 alcuna speciale ipotesi sulla terna Oa;iX 2 « 3 ) quale asse Ox 3 per accertare 

 che la conclusione sussiste; 



2°) eli e, se anche l'asse in questione è concepito variabile col tempo 

 rispetto a C (per es. fisso rispetto agli assi 0^), basta aver riguardo alla 

 posizione da esso occupata nel corpo nell' istante generico che si considera. 

 Infatti la precedente dimostrazione fa intervenire soltanto la distribuzione 

 delle velocità ad un dato istante: è quindi inessenziale l'ipotesi che sia 

 solidale con C l'asse attorno a cui C ed S ammettono rotazioni elementari 

 identiche. 



C. D. D. 



Va da sé che se, per tre direzioni indipendenti, vale l'eguaglianza delle 

 componenti di Sì e di K, si ha addirittura 



Si = K : 



tale è il caso dell'esempio riferito al § 5. 



