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Questi coseni di direzione, indipendentemente dall' indice superiore r 

 che omettiamo nella scrittura, soddisfano al sistema di equazioni ai diffe- 

 renziali totali 



Pili A ft 



(a) 



lì Uh 



Queste, note le @ ih in funzione delle u, determinano perfettamente gli 

 n 2 coseni X'- r) , a meno di una sostituzione ortogonale a coefficienti costanti, 

 cioè a meno di una rotazione nell' S„. 



Scelto un qualunque sistema integrale (H, , H 2 , ... , H n ) delle (B), resta 

 determinato per quadrature (a meno di una traslazione) il corrispondente 

 sistema n pl ° ortogonale dalle forinole 



(2) ^ = H t Xf (* . r = 1 , 1 , ...,«)• 



Introduciamo ora, insieme colle « funzioni H ; , le altre 

 W, , W 2 . ... , W„ , 



che danno le distanze (algebriche) dell'origine dalle n facce dell' n edro prin- 

 cipale, cioè 



(3) W f = 2> r X< n («=1,2,...,»). 



r 



[n virtù delle (a), queste soddisfano al sistema di equazioni a derivate 

 parziali 



(B*) 4^ = /? tt W* («4= 



che diciamo l'aggiunto del sistema (B). 



Viceversa, se le Wi , W 2 , ... , W„ soddisfano alle (B*), resta determi- 

 nato dalle (3) un sistema n pl ° ortogonale corrispondente, che si ha, in ter- 

 mini finiti, colle forinole 



(4) av=V Wt -X; n (r = l, 2, ...",») . 



(*) Le equazioni (a) sono, sotto altra forma, le equazioni differenziali di Christoffel 



^Ui'ÒUh i l l ) ÌUl ' 



che risultano dall'equivalenza delle due forme differenziali (1). 



