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E invero, derivando le (4) rispetto ad u H , coll'osservare le (a) e le (B*) r 

 si trova subito 



forinola che pone in evidenza il sistema n pl ° ortogonale, coi seguenti valori 

 hi per le H t -: 



(5) ^ = ^ + Z^-W,. 



àUi ^ 



3. Ricordate queste generalità dalla teoria dei sistemi n pli ortogonali, 

 veniamo all'oggetto proprio della presente Nota. 



Indichino c x , c 2 , ... , c n a costanti arbitrarie, che qui, per evitare la 

 suddistinzione di molti casi particolari, supponiamo tutte diverse da zero 

 e fra loro diseguali, e domandiamo : 



Esistono sistemi n pli ortogonali, nei quali Wi , W 2 , ... , W« siano 

 legate dalla reiasione quadratica 



(I) <?iW? + <? 2 WH hc„W 2 „ = cost? 



Il problema proposto consiste nel ricercare se esistono n(n — 1) -\-n = n ì 

 funzioni delle u 



che insieme soddisfino alle equazioni differenziali (A) , (B*), ed all'equazione 

 in termini finiti (I). È facile l'eliminare di qui le Wi e formare un nuovo 

 sistema di equazioni differenziali per le , che dovremo aggregare alle (A). 

 Per ciò deriviamo la (I) rispetto ad una qualunque iti, e, osservando le (B*), 

 avremo 



Escludendo senz 1 altro i casi più ovvii, e di facile trattazione, nei quali 

 qualcuna delle Wj si annulli, deduciamo dalla precedente : 



(6) d ~^ = — J_ c x ftiWx . 



òUi ^ 



Confrontando questa colla (B*) 



costruiamo la corrispondente condizione d'integrabilità 



ci ~ (/JftW*) + f c x ~ (p Xi W K ) = 0. 



òUi x 



