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Si osservi che, nel sistema (C), di una qualunque delle incognite fin 

 sono assegnate tutte le derivate prime, in funzione omogenea quadratica 



delle incognite, fatta eccezione della derivata che non vi figura. Per 



ciò, per la funzione incognita la variabile u k è parametrica; le altre n — 1 

 sono principali. Le condizioni d' integrabilità per le (C) saranno identica- 

 mente soddisfatte se i due valori tratti dalle (C) per una medesima deri- 

 vata seconda principale coincidono, in virtù delle (C) stesse. Ma per due 

 derivate seconde 



~ò1ii l)U m ' ~ÒU m ~ÒUi 1 



dove / , m siano indici diversi fra loro e da i . k , la coincidenza segue già 

 dalle (C) della prima linea. Eesta dunque da verificarsi che, per le (C) 

 stesse, si ha anche 



Indicando con il primo membro, possiamo scrivere 



W = Plk— -f-Pil— — + > — (PXi PXH) "T — [Pli Plh) ; 



itti itti —Ci — Cn <>Wj Ci — cu ìui 



ed eseguendo colle (C) stesse, e ordinando opportunamente i termini, 



& = ^ CA=l£ -* fa flu fa + ££Z=1 ^ H 'f. £àZ=L£5 fa fa + fin Ai Pi* + 

 X °i — c * c > — c h — C h Ci 



+ Y jEf, A A. a. + f5f f jEj, f» ft. fa + 



+ 5 ~ " fa fa Plk • 



T ci — Ci 



I tre primi termini manifestamente si distruggono: ma anche gli ultimi 

 tre si elidono, a causa della identità 



{ex — Ci) (ci — c H ) + (c\ — Ci) (cu — Ci) = (c\ — ci,) (c t — d) , 



onde segue effettivamente = 0. Concludiamo che il sistema lineare cano- 

 nico (C) è completamente integrabile. Se scegliamo adunque un sistema 

 iniziale di valori per le variabili Uì [sia per semplicità il sistema (0,0,. .. ,0)], 

 sarà determinato univocamente un sistema integrale (/£,•*) delle (C) prescri- 

 vendo che la rotazione si riduca ad una funzione arbitraria data della 

 sua variabile parametrica u ìt , quando le altre variabili (principali) si an- 

 nullano. Sembra, così, che l'integrale generale delle (C) dipenda da n(n — 1) 



