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funzioni arbitrane, quante sono le incognite $ ft . Però, di queste funzioni 

 arbitrarie, n sono soltanto apparenti, dipendendo dall'arbitrarietà ancora 

 lasciata ai parametri Uì\ in realtà adunque: 



L'iategrale generale (§i k ) del sistema (C) dipende da n(n — 2) fun- 

 zioni arbitrarie essenziali. 



5. Una proprietà notevole del sistema differenziale (0) è questa: che 

 esso possiede a integrali quadratici nelle rotazioni. 



Si considerino infatti le n espressioni quadratiche nelle p 



(ft) 



Q h = y ( Cx _ Ch ) fa (# = 1,2, ... , n) . 



x 



Se si deriva iì k rispetto ad una qualunque diversa da u%, si ha 

 1 ìS2 h ìfa l>fi in 



ossia, per le (C), 



I ~}Sìb (,Vc) (i ' k > ri r* 



- V = Z - **) ft* fri A* + (d - c h ) fi ix V - ft ft* , 



espressione che identicamente si annulla. Ne segue che la Sì k è una fun- 

 zione della sola u*; e poiché, cangiando il parametro u%, tutte le fix* si 

 moltiplicano per un medesimo fattore, funzione arbitraria di u h , e quindi S} n 

 pel suo quadrato, ne risulta che possiamo disporre del parametro u h così 

 da ridurre Sì h ad una costante. Ne concludiamo quindi : 



II sistema differenziale (C), scelti convenientemente i parametri Ui , 

 u 2 , ... , u» , possiede gli n integrali quadratici 



' {c 2 — c^ + (c 3 — d) fèi -\ f- (c n — Ci) fili = cost 



(ci — c t ) fi 2 » + (<? 3 — <? s ) /% H f- — tf s) ^2 = cost 



i — C n ) fiì n + — C n ) fòt -\ 1- (<?„_, — (?„) #U , = COSt . 



6. Supponiamo scelto per le rotazioni un qualunque sistema inte- 

 grale delle (C). È facile vedere che esisteranno in effetto (infiniti) sistemi 

 n pH ortogonali con queste rotazioni, e soddisfacenti alla condizione (I). Per 

 determinarli, dovremo associare alle (B*) le equazioni (6), e formeremo così 

 il sistema 



I W * e w 



— = /?»w* 



(II) ^ Uh 



