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Questo è un sistema lineare ai differenziali totali per le funzioni incognite 

 Wj , W 2 , ... , W M , e dal calcolo stesso eseguito al n. 3 risulta che esso è 

 completamente integrabile. D'altra parte, se poniamo per un momento 



<P = Cl W? + e 8 WH [-CnWl, 



subito vediamo che, a causa delle (li), tutte le derivate di <t> si annullano, 

 e però <P è una costante. Scelto adunque un qualunque sistema (Wi,W 2 , 

 ... , W„) integrale delle (II), sarà verificata la condizione (I). e le formolo 

 (4) daranno il sistema n pl ° ortogonale corrispondente. In questo sistema i 

 valori hi delle H,- si calcoleranno, secondo le (5) e per le (II 2 ), dalle forinole 



(7) h = f fiuWx • 



Così, ad ogni sistema di rotazioni che soddisfino alle (C), corrispondono 

 infiniti sistemi n pU ortogonali colle W t - legate dalla relazione quadratica (I). 

 E qui è ancora da osservarsi che, figurando nel sistema (C) solo le diffe- 

 renze a — Cu , si possono alterare le n costanti Ci di una medesima co- 

 stante additiva j senza che varii l'immagine iper sferica del sistema. 



7. Rispetto alla integrazione del sistema differenziale (C), poco appren- 

 dono i metodi generali. Ma, in grazia del suo significato geometrico, possiano 

 facilmente riconoscere che: noto un sistema particolare (/?,•*) di soluzioni 

 delle (0), potremo trovarne infiniti nuovi integrando equazioni differen- 

 ziali ordinarie. 



Per questo si supponga che le n costanti c x , c 2 , ••• , c„ non abbiano 

 tutte lo stesso segno, ciò che possiamo sempre ottenere alterandole, secondo 

 l'osservazione superiore, di una medesima costante additiva. Si considerino 

 allora quei particolari sistemi n pU ortogonali nei quali è soddisfatta la con- 

 dizione (I), annullandosi la costante del secondo membro 



(8) ffiW?+-<?,WJH c n Wl = 0. 



Indicando questi come sistemi (.2), dimostriamo: 



Se si assoggetta un tale sistema (2) ad un'inversione per raggi vet- 

 tori reciproci rispetto all'origine, il sistema n pl ° derivato (2) appartiene 

 alla medesima classe. 



Prendendo per semplicità = 1 il raggio dell' ipersfera d'inversione, le 

 formolo d' inversione sono 



Q 



dove si è posto 



e «! + *8+''-- + a!»==W? + WH |-W*. 



