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vicini degli integrali ellittici (*), poiché la totalità degli integrali semplici 

 di l a specie di una tale varietà è assimilabile a quella dei punti reali e 

 complessi di un S p ^ (reale), mentre i vertici di una rete di Mobius appar- 

 tenente a un S p _i , presi insieme coi loro punti limiti, dànno una totalità 

 assimilabile a quella dei punti reali di un S p _! (reale). 



Comunque sia di ciò, sorge la questione di decidere se esistano o no 

 delle varietà algebriche su cui ad ogni integrale semplice di l a specie siano 

 infinitamente vicini degli integrali ellittici. 



La risposta affermativa a questa domanda, insieme con la caratteriz- 

 zazione precisa delle varietà per cui si verifica il fatto considerato, è fornita 

 agevolmente dal metodo geometrico a cui già abbiamo avuto occasione di 

 far ricorso per lo studio degli integrali abeliani riducibili ( 2 ). 



Ecco in breve i risultati a cui siamo pervenuti, insieme col richiamo 

 delle nozioni e dei teoremi atti a chiarirne la portata. 



Una varietà algebrica Y p di irregolarità superficiale p ^> 1 ammette 

 in generale una ed una sola relazione di Riemann (relativamente a un qual- 

 siasi sistema primitivo di cicli lineari della sua riemanniana) ; ma può darsi 

 che essa ne ammetta più di una, e allora ne ha infinite ( 3 ). 



In ogni caso possiamo dire che Y p ha Vindice di singolarità k se fra 

 le sue relazioni di Riemann ve ne sono k -f- 1 indipendenti e non più, e 

 dire che V p è non singolare o k volte singolare secondo che si ha k = 

 oppure k ^> ( 4 ). 



Dato p, il numero k è assoggettato alla diseguaglianza 



k<p 2 — \ ( 5 ). 



Allorché Vj, ammette una sola relazione di Riemann, ossia è non sin- 

 golare, questa relazione è principale e di caratteristica 2p ( 6 ); d'altra 

 parte la condizione necessaria e sufficiente perchè V p contenga un sistema 

 regolare di integrali semplici di l a specie riducibili è che fra le sue rela- 

 zioni di Riemann ve ne sia qualcuna di caratteristica inferiore a 2p ( 7 ); 

 quindi : 



Una varietà algebrica, contenente sistemi regolari di integrali sem- 

 plici di l a specie riducibili, è necessariamente singolare. 



(') Vedi più innanzi (n. 2) per la definizione precisa di questa frase. 



( 2 ) Scorza, Sugli integrali abeliani riducibili. Note I e II [Rendic. della R Acca- 

 demia dei Lincei, ser. 5 a , voi. XXIV (1° sem. 1915), pp. 412-418 e pp. 645-654]. 



( 3 ) Loc. cit. 3 >, Nota II, n, 8 e n. 10. 



( 4 ) Scorza, 77 teorema fondamentale per le funzioni abeliane singolari ^Memorie 

 della Società italiana delle Scienze (detta dei XL), in corso di stampa] n. 57. 



( 5 ) Loc. cit. 6 >. 



(") Loc. cit. 3 >, Nota II, n. 10. 

 (') Loc. cit. 3 >, Nota II, n. 19. 



