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In base a questa osservazione, le varietà richieste son da cercare fra 

 quelle singolari. 



Ebbene noi dimostreremo che: 



Le varietà algebriche di irregolarità superficiale p^>l, su cui ad 

 ogni integrale semplice di l a specie sono infinitamente vicini degli inte- 

 grali ellittici, sono tutte e solo quelle, effettivamente esistenti., per cui 

 l'indice di singolarità è uguale a p 2 — 1 ; 



nel qual teorema è implicito il fatto che p 1 — 1 è non solo un limite supe- 

 riore, ma addirittura un massimo per k. 



Un altro teorema, a cui saremo condotti spontaneamente dalle consi- 

 derazioni che seguono e che, sebbene non si riconnetta in modo stretto con 



10 scopo principale di questa Nota, non ci sembra privo di importanza, è 



11 seguente: 



Una varietà algebrica di irregolarità superficiale p^>l, che sia 

 almeno 2p — 1 volte singolare, contiene infiniti sistemi regolari di inte- 

 grali semplici di l a specie riducibili ('). 



1. Fissiamo sulla riemanniana della varietà algebrica V p di irregolarità 

 superficiale p > 1 un sistema primitivo di 2p cicli lineari 



l\ , li . ... , lip , 



e serviamocene (al modo che è indicato nei nn. 1 e 2 della nostra Nota I 

 già citata) per rappresentare omograficamente gli integrali semplici di prima 

 specie di V p sui punti di un S p _i imaginario, di specie p, di uno spazio 

 reale 2 a 2p — l dimensioni ( 2 ). 



Diciamo t queir S p _, e t lo spazio imaginario ad esso coniugato. 



\ì imagi ne e X imagi ne coniugata di un sistema lineare oo?- 1 (q <Cp) 

 di integrali semplici di l a specie di V p saranno, rispettivamente, l'S 9 _i 

 di t, in cui quel sistema si riflette, e 1' S 9 _i di t ad esso coniugato: Yasse 

 del sistema sarà poi lo spazio a 2q — 1 dimensioni, necessariamente reale, 

 che ne congiunge le imagini ( 3 ). 



(') Di qua facendo p = 2 si trae la nota proposizione che una superficie iperellittica 

 (di rango 1) tre volte singolare ammette infiniti integrali ellittici. Del resto per p = 2 

 questo teorema è contenuto nel precedente ed è da esso precisato. 



( 3 ) Il modo a cui si allude nel testo e che giova tener presente consiste nel fissare 

 in 2 un sistema di coordinate proiettive omogenee e nel far corrispondere ad ogni inte- 

 grale semplice di l a specie di V p (determinato a meno di una costante additiva e di 

 una costante moltiplicativa) il punto di Z che ha per coordinate i periodi dell'integrale 

 ai cicli li ,U, ... , Up ■ 



( 3 ) Loc. cit. 3) , Nota I, n. 2 e n. 6. Cogliamo l'occasione per avvertire che nell'im- 

 paginazione di questa Nota è incorso un errore: le prime cinque righe della pag. 415 

 sono le ultime righe del n. 2, non del n. 1. 



