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finito di Ne risulta, come prima conseguenza, che il corpo A non può 

 urtare l'altro corpo 0, se non dopo aver compiuto, intorno ad esso, un 

 numero infinito di rivoluzioni Ciò che del resto poteva anche dedursi 

 dal teorema II della mia Memoria e dall' integrale delle aree 



< 2 > 



La (2) anzi ci mostra che & è funzione crescente di t; e poiché, per ipotesi, 

 M(;) è funzione crescente di t, ne deduciamo che essa è anche funzione cre- 

 scente di Ne segue che, essendo K un intero positivo qualsiasi, avremo 



r2KTC 

 M(*)sen£d#< 0. 



- 



2. Teorema I. — La traiettoria non può mai passare due volte per 

 uno stesso punto del suo piano ( 2 ). Infatti, se, per = si ha r = r, , 

 e se, dopo un certo tempo, & assume il calore & x -\- 2\Ln , r avrà in 

 queW istante un valore minore di r x ( 3 ). 



Dimostraz. — Senza togliere nulla alla generalità della questione, 

 possiamo assumere l'asse polare in modo che sia -5, = 0. Indicando allora 

 con r 2 il valore di r per ^ = #i -f- 2Ktt = 2Ktv , dalla (I) e dalla (3) 

 avremo 



(4) --- = - M(0Bei*rf*>0, 



'2 '1 ^0 



da cui 



(5) r,<?\. C. d. d. 



(') Supponiamo naturalmente che la costante delle aree sia diversa da zero. 



( a ) Nel caso generale in cui M(i) non è crescente, il teorema non sussiste più. Si 

 dimostra allora, però, che, se M(t,) 5j M(f >) e se negli istanti t, ed, A passa per uno 

 stesso punto P del piano, i due rami della traiettoria non possono avere in P un contatto 

 superiore al 1° ordine (teorema III della mia Memoria). 



( 3 ) La presente dimostrazione prescinde da ogni ipotesi sulla forma della traiettoria, 

 ed è quindi valida in ogni caso. 



Supponiamo però di sapere a priori che in un caso particolare l'orbita ammetta 

 un perielio od afelio ; vale allora un teorema recentemente dato dal prof. Pizzetti (Sul 

 problema dei due corpi di masse variabili, Nota del Socio P. Pizzetti, questi Een- 

 diconti, luglio 1915) il quale dimostra che, per uno stesso valore positivo di &, il raggio 

 vettore è più piccolo del valore che esso avrebbe nel moto kepleriano. Potevamo, anzi, 

 ^considerare il teorema I come caso particolare del bel teorema del Pizzetti; ma abbiamo 

 dato una nuova dimostrazione, giacché altrimenti sarebbero sfuggite, alle nostre con- 



dr 



siderazioni, alcune orbite a forma di spirale per cui il -j— può essere, p. es., sempre 



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negativo. Colgo l'occasione per ringraziare caldamente il chmo prof. Pizzetti delle lusin- 

 ghiere parole che egli ha avuto nella sua importante Nota per i miei lavori. 



Rendiconti. 1915, Voi. XXIV, 2° Sem. 39 



