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s s e r v a z. I. — Da questo teorema non si potrebbe dedurre, che 

 l'orbita di A sia una spirale avvolta intorno all'origine 0, giacché noi non 

 sappiamo se il corpo A compie, effettivamente, delle rivoluzioni complete 

 intorno ad 0. 



Supponiamo, però, che in un caso particolare si sia giunti a dimostrare 

 che, da un certo istante in poi, r resta sempre minore di una quantità 

 L finita e ben determinata, benché incognita. Dall'integrale delle aree 

 (2) potremo concludere che A compie un' infinità di rivoluzioni intorno ad 

 0. La sua traiettoria avrà allora, per il teorema I, la forma di una 

 spirale, di cui ogni spira è interna alla spira precedente. Un caso impor- 

 tantissimo, in cui ha luogo questo fatto, si ha quando la differenza iniziale 

 tra la forza viva e la funzione delle forze è nulla o negativa (teorema IX 

 della mia Memoria), cioè nel caso nei pianeti e delle comete paraboliche. 



Osservaz, IL — Supponiamo di essere riusciti a dimostrare che r 

 tende all'infinito insieme con t. Se ne dedurrà che A non può compiere 

 alcuna rivoluzione completa intorno ad 0. 



Teorema II. — L'angolo compreso tra un perielio e l'afelio suc- 

 cessivo (supposto che esistano) è sempre minore di due retti. 



Dimostra i. — Cominciamo ad osservare che, avendo supposto l'esi- 

 stenza di un afelio, r ammetterà, per tutti i tempi successivi, un limite su- 

 periore finito L (teorema V della Memoria). Il corpo A compirà dunque 

 infinite rivoluzioni intorno ad 0. Ciò posto, dalla (2) abbiamo: 



d- 



r J_ dr _ drl^dt dr 

 { > d& 'r 2 d^~~dtr z d&~~dt' 



Immaginiamo (ciò che non toglie nulla alla generalità della questione) 

 «he A passi al perielio per 3=0. L'equazione (1) ci dà allora, tenendo 

 presente la (6), 



( 7 ) ^i = ^___ cos ^ M(0 cos # d# — sen # M(t)sen&d&, 



da cui risulta che il — è negativo per & = n. D'altra parte la derivata 



dr 



t— è funzione continua di ed è positiva per positivo e sufficientemente 



dt 



piccolo, avendosi un perielio per S ■= 0. Se ne conclude che, nell' intervallo 



dr 



< # < ti , il — ammette un numero dispari di radici reali. Dunque 



l'afelio avrà luogo per &<Cn. C. d. d. 



Teorema III. — L'angolo compreso tra un afelio e il perielio 

 successivo (supposto che esistano) e maggiore di due retti. 



